Producto de permutaciones de los números consecutivos de los rendimientos progresión aritmética

Question

Deje $n\geq 3$ ser un número entero, y $a,b$ ser enteros positivos. Deje $c_1,\ldots,c_n$ ser una permutación de $a,a+1,\ldots,a+(n-1)$, e $d_1,\ldots,d_n$ ser una permutación de $b,b+1,\ldots,b+(n-1)$. Es posible que $c_1d_1,c_2d_2,\ldots,c_nd_n$ forman una progresión aritmética?

Por ejemplo, para $n=3$, esto no es posible. Las permutaciones que debemos revisar son

$ab,(a+1)(b+1)=ab+a+b+1,(a+2)(b+2)=ab+2(a+b)+4$

$ab,(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2,(a+2)(b+1)=ab+a+2b+2$

y así sucesivamente. Sin embargo, para general $n$ es más difícil de comprobar todas las permutaciones.

Answer 1

Supongamos que existe una secuencia $k=(k_1, ... , k_n)$ tal que $k_i=c_i d_i$ (1). Deje $c$$k_{i+1}-k_i$. Vamos $n_j = \vert\lbrace x\in k\vert x\equiv 0 (mod$ $j) \rbrace\vert$. Deje $n'_3$ el número de $i$ tal de que exactamente uno de $c_i$ $d_i$ es divisible por $3$, $n'_9$ el número de $i$ tal que $c_i$ $d_i$ son ambos divisibles por $3$.

Entonces, puesto que el $c_i$ e las $d_i$ son una permutación de $n$ números consecutivos, $ 2\lfloor \frac{n}{3}\rfloor \leq n'_3 + 2n'_9 \leq 2\lceil\frac{n}{3}\rceil$ (2)

Además de (1) tenemos $n_3 = n'_3 + n'_9 $ (3) y $n'_9 \leq n_9$ (4).

Ahora si $3\vert c$ tenemos $n_3=0$, lo que contradice (2) y (3) o $n_3 = n$, lo que implica por (3) y (2) $n + n'_9 \leq 2\lceil\frac{n}{3}\rceil $, lo cual es imposible para $n \geq 5$, y es fácil de comprobar en el caso de $n = 4$.

Si $3$ no divide $c$,$\lfloor\frac{n}{3}\rfloor\leq n_3 \leq \lceil\frac{n}{3}\rceil$$\lfloor\frac{n}{9}\rfloor\leq n_9 \leq \lceil\frac{n}{9}\rceil$. Por lo tanto, por (3) $-n'_3-n'_9 \geq - 2\lceil\frac{n}{3}\rceil$, y luego usando (4) y (2) $\lceil\frac{n}{9}\rceil\geq 2\lfloor\frac{n}{3}\rfloor - \lceil\frac{n}{3}\rceil$, lo cual es imposible para $n\geq 12$, por lo que es suficiente para comprobar la $3\leq n \leq12$. Pero esto es fácil porque hay finito de casos, que puede ser resuelta, ya que son sistemas lineales donde tenemos que comprobar si el entero de soluciones existe.