Como mencionó Daniel en los comentarios, existe una relación íntima entre los flujos, las curvas integrales y los campos vectoriales (una colección de flechas en cada punto de la esfera). Dado un flujo, uno puede seguir puntos individuales para crear curvas en la superficie que caen en órbitas distintas en este caso. Dada una familia de tales curvas, se pueden diferenciar para obtener el campo vectorial.
Ahora bien, el teorema de la bola peluda sólo se refiere a los campos vectoriales y dice que la suma de los grados de los ceros de cualquier campo es $2$ pero gracias a la conexión anterior esto también se aplica a los flujos. En particular, un campo vectorial tiene un cero precisamente cuando el flujo asociado tiene un punto fijo.
Sin embargo, todavía tenemos que conectar los flujos con las transformaciones de Mobius. Por ejemplo, una rotación por $90$ grados alrededor de cierto eje es una transformación que reemplaza una esfera con su doble rotado pero un flujo es una animación real de esta rotación. Es posible pasar de una a otra de la misma manera que lo hacen los cineastas. Rotar la esfera por $1$ grado, hacer una foto, girar otro grado, volver a hacer una foto, etc. Al final tendrás una película en stop motion grabando la rotación. Haciendo los pasos infinitesimales obtendrás el flujo. Sin embargo, para los puntos fijos esta distinción no importa porque no se mueven en absoluto, así que estamos al final del camino: los puntos fijos de las transformaciones de Mobius son precisamente los ceros de los campos vectoriales correspondientes.
Obsérvese que el teorema de la bola peluda también nos dice que debe haber precisamente dos puntos fijos (al menos cuando los grados de los ceros son positivos, como aquí), contados con multiplicidad.
