Supongamos $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ es una limitada función de la satisfacción: para cada una de las $c\in [0,1]$ existen los límites de $\lim_{x\rightarrow c^+}f(x)$$\lim_{x\rightarrow c^-}f(x)$. Es cierto que el conjunto de la discontinuidad de $f$ es contable?
Respuestas
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Esperemos que este más tedioso es la prueba más elocuente...
A la luz de los supuestos sobre los $f$, hay dos maneras en que $f$ puede no ser continua: (1) la mano izquierda y la derecha de los límites diferentes, o (2) los límites son iguales, pero el valor de la función difiere del límite (gracias a @GEdgar para señalar esto).
Deje $\epsilon>0$$\Delta_\epsilon = \{ x |\, |\lim_{y \downarrow x}f(y) - \lim_{y \uparrow x}f(y)| \geq \epsilon \}$. Si $\Delta_\epsilon$ no es finito, entonces a partir de la $[0,1]$ es compacto, existe una acumulación punto de $\hat{x} \in [0,1]$. Deje $c_+ = \lim_{y \downarrow \hat{x}}f(y), c_- = \lim_{y \uparrow \hat{x}}f(y)$. (Tenga en cuenta que es posible que $c_- = c_+$.) Por supuesto, existe alguna $\delta>0$ tal que para $y \in (\hat{x}-\delta,\hat{x})$, $|f(y)-c_-| < \frac{\epsilon}{4}$ y para $y \in (\hat{x}, \hat{x}+\delta)$, $|f(y)-c_+| < \frac{\epsilon}{4}$. Sin embargo, esto implica que $\hat{x}$ es un punto aislado de a $\Delta_\epsilon$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto $\Delta_\epsilon$ es finito.
Si dejamos $\Delta = \cup_n \Delta_{\frac{1}{n}}$, podemos ver que $\Delta $ es en la mayoría de los contables.
@GEdgar ha señalado una omisión en mi prueba: es posible que los dos límites coinciden en un punto, pero la función es todavía discontinua en ese punto, es decir, $\Delta$ es no en todo el conjunto de discontinuidades.
Deje $\Gamma_\epsilon = \{ x |\, \lim_{y \downarrow x}f(y) = \lim_{y \uparrow x}f(y), \ |\lim_{y \downarrow x}f(y)-f(x) | \geq \epsilon \}$. Supongamos, como en el anterior, que $\Gamma_\epsilon$ no es finito, y deje $\hat{x}$ ser un punto de acumulación. Deje $c_+, c_-$ ser los límites anteriores. De nuevo, existe una $\delta>0$ que si $y \in (\hat{x}-\delta,\hat{x})$, $|f(y)-c_-| < \frac{\epsilon}{4}$, y del mismo modo, si $y \in (\hat{x}, \hat{x}+\delta)$, $|f(y)-c_+| < \frac{\epsilon}{4}$. En consecuencia, $\hat{x}$ es aislado, por lo tanto, una contradicción, y $\Gamma_\epsilon$ es finito.
Si dejamos $\Gamma= \cup_n \Gamma_{\frac{1}{n}}$, podemos ver que $\Gamma$ es en la mayoría de los contables.
Dado que el conjunto de discontinuidades es $\Delta \cup \Gamma$, vemos que el conjunto de discontinuidades es en la mayoría de los contables.
Anthony Cramp
Puntos
126
O tratar de ir directamente.
Suponga que el conjunto de $D$ de discontinuidades es incontable, seleccione un punto de condensación de $D$ (un punto en el que cada barrio es $D$ es incontable), a continuación, mostrar que una sola cara de los límites no existen. Sugiero que el criterio de Cauchy para la inexistencia de un límite...
** versión más completa **
Si $f$ es discontinua en un punto de $c$, entonces no es$\epsilon > 0$, de modo que para cada $\delta>0$ existe $x$$|x-c|<\delta$$|f(x)-f(c)|>\epsilon$. Deje $D_\epsilon$ ser el conjunto de puntos que cumplan esta para un determinado $\epsilon$. El conjunto de todas las discontinuidades es $$ D = \bigcup_{\epsilon>0} D_\epsilon = \bigcup_{n=1}^\infty D_{1/n} $$ Supongamos $D$ es incontable. A continuación, $D_{1/n}$ es incontable para algunos $n$. Fijar un $n$. Una multitud innumerable de $\mathbb R$ tiene un accuulation punto, decir $c$ es un punto de acumulación de a $D_{1/n}$. Cada derecho-barrio de $c$ cumple con $D_{1/n}$ o de todo a la izquierda-barrio de $c$ cumple con $D_{1/n}$.
Supongamos que todos los de izquierda barrio de $c$ cumple con $D_{1/n}$; vamos a demostrar que la izquierda límite de $f$ no existe en $c$. (El caso de la derecha-los barrios es similar, el límite no existe.) De hecho, para cualquier $\delta>0$, el intervalo de $(c-\delta, c)$ cumple con $D_{1/n}$. Deje $x \in (c-\delta,c)\cap D_{1/n}$. No es$\delta'>0$, de modo que $(x-\delta',x+\delta') \subset (c-\delta,c)$. Por la definición de $D_{1/n}$,$y$, de modo que $|x-y|<\delta'$$|f(x)-f(y)|>1/n$. Resumen:
Para cada $\delta>0$ existe $x,y$, de modo que $c-\delta < x < c$, $c-\delta< y < c$, pero $|f(x)-f(y)|>1/n$.
Así, el criterio de Cauchy para la existencia de la izquierda límite $$ \lim_{t \to c^-} f(t) $$ se produce un error.
Brian Hinchey
Puntos
1112
Sí, como $f$ debe ser regulado de la función y, por tanto, sólo tiene contables muchas discontinuidades.
Una regulado función es una función que tiene una derecha y una mano izquierda límite. Esto es equivalente a que hay una secuencia de paso de las funciones que convergen uniformemente hacia la función. Como una función de paso sólo tiene una cantidad finita discontinuies, el regulado de la función sólo puede tener contables muchos discontinuies.
