1. El proceso de la maxima de un proceso de Markov es, en general, no de Markov.
1.1 Considerar su favorito proceso de Markov, dicen que el estándar de la caminata aleatoria simétrica $(X_n)_{n\geqslant0}$ sobre el entero de la línea, que se define por $X_0=0$ $X_n=Y_1+\cdots+Y_n$ por cada $n\geqslant1$ donde $(Y_n)_{n\geqslant1}$ es yo.yo.d. y simétrica de Bernoulli, por lo tanto $\mathrm P(Y_n=1)=\mathrm P(Y_n=-1)=\frac12$.
El proceso de la maxima de $(X_n)_{n\geqslant0}$ es el proceso de $(M_n)_{n\geqslant0}$ definido por $$M_n=\max\{X_k\,;\,0\leqslant k\leqslant n\}.$$, Entonces:
El proceso de $(M_n)_{n\geqslant0}$ no es un proceso de Markov, ni un proceso de Markov de cualquier orden superior.
Para ver esto, observe que $M_{n+1}$ es $M_n$ o $M_n+1$, y que la probabilidad de que $M_{n+1}=M_n+1$ depende de $$T_n=\max\{0\leqslant k\leqslant n\,;\,M_{n-k}=M_n\},$$ the time spent at $M_n$ by the process before time $n$. Then, due to the symmetry of the increments of the random walk, $\mathrm P(M_{n+1}=M_n+1\,\mid\,\mathcal M_n)=u(T_n)$, where $\mathcal M_n=\sigma(M_k\,;\,0\leqslant k\leqslant n)$ and, for every $k\geqslant0$, $u(k)=\frac12\mathrm P(X_k=0)$. Thus, $u(2k-1)=0$ and $u(2k)=\frac12{2k\elegir k}2^{-2k}$ for every $k\geqslant1$, hence the sequence $(u(2k))_{k\geqslant1}$ is decreasing. Since, for every $0\leqslant k\leqslant n$, $[T_n\geqslant k]=[M_{n-k}=M_n]$, this shows that the conditional probability that $[M_{n+1}=M_n+1]$ depende del pasado en una posible manera ilimitada.
1.2 El análogo de tiempo continuo proceso es un estándar de movimiento Browniano $(B_t)_{t\geqslant0}$. Considere la posibilidad de $S_t=\sup\{B_s\,;\,0\leqslant s\leqslant t\}$. A continuación, $(B_t)_{t\geqslant0}$ es un proceso de Markov, sino $(S_t)_{t\geqslant0}$ no lo es.
2. Otros ejemplos sin la propiedad de Markov son los procesos de local veces.
2.1 En el discreta configuración, considere la posibilidad de $$Z_n=\sum\limits_{k=1}^{n}[X_{2k}=0].$$ Then $Z_{n+1}$ is either $Z_n$ or $Z_n+1$, and the probability that $Z_{n+1}=Z_n+1$ depends on $$\max\{0\leqslant k\leqslant n\,;\,X_{2n-2k}=0\},$$ el tiempo transcurrido desde el último cero de la caminata aleatoria. Por razones similares a las explicadas para la maxima procesos:
El proceso de $(Z_n)_{n\geqslant0}$ no es un proceso de Markov, ni un proceso de Markov de cualquier orden superior.
2.2 El analógica de la norma movimiento Browniano $(B_t)_{t\geqslant0}$ es el llamado de la hora local en cero $(L_t)_{t\geqslant0}$. Asimismo, $(L_t)_{t\geqslant0}$ no es un proceso de Markov.