Son grupos con la misma Hom conjuntos ya isomorfos?

Question

Yo estaba pensando acerca de lo siguiente: Decir que tenemos dos grupos de $A$$B$, y sabemos que para cualquier grupo C, hay un bijection

$$Hom(A,C) \to Hom(B,C).$$

Se $A$ $B$ ya isomorfos?

Si la familia de bijections era natural en $C$, esto se desprende de Yoneda del lexema. Pero es de todos modos sin connaturalidad, sólo a partir de las cardinalidades? Sospecho que no, pero en los casos más sencillos (finitely generado). Me gustaría escuchar alguna idea sobre cómo venir para arriba con una prueba o contraejemplo.

También, la respuesta cambia cuando consideramos la contravariante caso con una identificación $Hom(C,A) \to Hom(C,B)$?

Answer 1

Deje $A$ ser el grupo libre con countably muchos generadores, y deje $B$ ser el grupo con countably muchos generadores de los cuales uno tiene la relación $g^2=e$.

Estos no son isomorfos, debido a que un grupo libre es de torsión libre y $B$ no lo es.

Si $C$ es cualquier grupo finito (o infinito) de cardinalidad $\lambda$ $\kappa$ tienen orden de 1 o 2, entonces tenemos $$ \begin{align} |\operatorname{Hom}(A,C)| &= \lambda^{\aleph_0} \\ |\operatorname{Hom}(B,C)| &= \lambda^{\aleph_0}\cdot\kappa \end{align} $$ que son iguales porque $1\le \kappa \le \lambda $.

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Para el contravariante caso, podemos dualize de Derek idea: Si hay inyectiva homomorphisms $A\to B$$B\to A$,$|\operatorname{Hom}(C,A)|=|\operatorname{Hom}(C,B)|$.

En ese caso podemos tomar $A$$\mathbb Q^\omega$$B=\mathbb Z\times\mathbb Q^\omega$. A continuación, $A$ $B$ son no isomorfos (debido a $B$ tiene un elemento que no es el doble de nada), pero que fácilmente se inyecte en cada uno de los otros.

(Como Derek notas en los comentarios también se pueden tomar $A$ $B$ libre de grupos de diferentes finito filas $\ge2$, para un finitely generado ejemplo. Por ejemplo, si $A$ es el grupo en $\{a,b\}$ $B$ es el grupo en $\{a,b,c\}$, $A$ inyecta de forma nativa en $B$, e $\{a\mapsto ab, b\mapsto a^2b^2, c\mapsto a^3b^3\}$ genera un inyectiva homomorphism $B\to A$).

Answer 2

Si hay un surjective homomorphism $\rho:A \rightarrow B$, entonces, para cualquier grupo $C$, $\alpha \mapsto \alpha \circ \rho$ es un inyectiva mapa de ${\rm Hom}(B,C) \to {\rm Hom}(A,C)$.

Así que, para cualquier par de grupos de $A$$B$, que es isomorfo a homomórfica imágenes de cada uno de los otros, tenemos $|{\rm Hom}(A,C)| = |{\rm Hom}(B,C)|$.

Hay ejemplos de pares de no isomorfos finitely grupos generados con esta propiedad. Un ejemplo se da en el Teorema 3 de la conocida papel "de Unos dos-generador de un relator no Hopfian grupos" por Baumslag y Solitar

$$A = \langle a,b \mid a^{-1}b^2a=b^3 \rangle,$$ $$B = \langle c,d \mid c^{-1}d^2c=d^3, ([c,d]^2c^{-1})^2=1 \rangle.$$