Encontrar el mayor triángulo inscrito en el círculo unidad

Question

Entre todos los triángulos inscritos en el círculo unidad, ¿cómo puede el uno con el área más grande se encuentra?

Answer 1

Tomar una arbitraria triángulo inscrito en el círculo y dejar uno de los lados sobrepasan el ángulo central $\alpha$.

Mantener este lado fijo y mover el vértice opuesto para formar un triangulo isoceles, obtenemos un triángulo más grandes, y los otros dos lados ambos sobrepasan el ángulo central $\pi-\dfrac\alpha2$.

Repetir con uno de los otros lados, podemos establecer la recurrencia $\alpha_{k+1}=\pi-\dfrac{\alpha_k}2$. Esta secuencia siempre converge a $\alpha=\dfrac{2\pi}3$, lo que produce la más grande de la zona.

(En realidad, basta decir que un no-triángulo equilátero siempre puede ser ampliada.)

Answer 2

Dado cualquier triángulo $\triangle ABC$ de lados $a,b$$c$, vamos a $R$ ser su circunradio y $\mathcal{A}$ de su área. Tenemos esta interesante la identidad: $$4 R \mathcal{A} = abc$$ Al $ABC$ está inscrito dentro del círculo unidad, $R = 1$ y $GM \le AM$, tenemos

$$\mathcal{A} = \frac14 abc \le \frac14 \left(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\right)^{3/2}$$

Aviso $$\begin{align}a^2 + b^2 + c^2 &= |\vec{A} - \vec{B}|^2 + |\vec{B} - \vec{C}|^2 + |\vec{C}-\vec{A}|^2\\ &= 6 - 2\left(\vec{A}\cdot\vec{B} + \vec{B}\cdot\vec{C} + \vec{C}\cdot\vec{A}\right)\\ &= 9 - |\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}|^2 \end{align} $$ Esto conduce a una cota superior para el área de

$$\mathcal{A} \le \frac14 \left(\frac{9}{3}\right)^{3/2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$$

Desde esta cota superior es alcanzado por un triángulo equilátero de lado a $\sqrt{3}$, el área máxima es $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Answer 3

Tome un círculo unitario y tome $A$ uno de los vértices del triángulo para estar en la $x$ eje $A(1,0)$. Deje $\theta$ $\phi$ ser el ángulo entre $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ y $\vec{OC}$ respectivamente. Por lo que uno tiene

$$\vec{AB}=(\cos\theta-1,\sin\theta)$$ $$\vec{AC}=(\cos\phi-1,\sin\phi)$$

Queremos maximizar

$$\mathfrak{A}(\theta,\phi)=\begin{vmatrix} \cos\theta-1&\sin\theta\\ \cos\phi-1&\sin\phi \end{vmatrix}$$

Las derivadas parciales son

$$\sin\theta\sin\phi+\cos\theta(\cos\phi-1)=0$$ $$(\cos\theta-1)\cos\phi+\sin\phi\sin\theta=0$$

La cual puede escribirse como

$$\cos(\theta-\phi)=\cos\theta$$ $$\cos(\theta-\phi)=\cos\phi$$

Esto significa $\phi=2\pi-\theta$ $3\theta=2\pi$ donde $\theta=\frac{2\pi}{3}$ y el triángulo es equilátero. "La simetría es el coseno de ecuaciones".

Answer 4

SUGERENCIA:

Como ajotatxe,

$$\dfrac a{\sin A}=\cdots=2R$$ where $R$ es el circum-radio

y $\triangle=\dfrac{abc}{4R}=2R^2\sin A\sin B\sin C$

Ahora siga este

Answer 5

Revisión WLOG un lado $a$ paralelo a $X$ eje. El área máxima con este lado fijo es al $A$ es a $Y$ eje, debido a la altitud es la máxima. De esta manera se puede mostrar que el máximo del triángulo es (al menos) isósceles.

Ahora, la ley de los senos de los estados que $$\frac a{\sin \hat A}=\frac b{\sin\hat B}=2R$$ donde $R$ es el radio del círculo circunscrito, que es, $1$. Me hace omitido el $c/\sin \hat C$ fracción, porque ya hemos demostrado que $b=c$. El área del triángulo es $$\frac12ab\sin\hat B=2R^2\sin\hat A\sin\hat B=2R^2\sin2\hat B\sin\hat B=4R^2\sin^2\hat B\cos\hat B=4R^2(\cos\hat B-\cos^3\hat B)$$

Ahora definir $$f(x)=\cos x-\cos^3 x$$ tomar la derivada $$f'(x)=-\sin x+3\sin x\cos^2x=2\sin x-3\sin^3 x$$ que se desvanece en$x=0$$x=\pi/3$. Este último valor le dará el máximo de área (de hecho esta es la equilatheral triángulo).