¿Cuál es la manera fácil de calcular las raíces de $z^4+4z^3+6z^2+4z$?

Question

¿Cuál es la manera fácil de calcular las raíces de $z^4+4z^3+6z^2+4z$?

Sé que su respuesta: 0, -2, -1+i, -1-i.

Pero no sé cómo encontrar? Por favor, muéstrame este. Sé que esto es tan trivial, pero es importante para mí. Gracias.

Answer 1

Añadir de 1 a ambos lados para obtener:

$$z^4+4z^3+6z^2+4z+1 = 1$$

es decir,

$$(z+1)^4 = 1$$

se puede terminar a partir de ahí?

Answer 2

$(z+1)^4=z^4+4z^3+6z^2+4z+1$.${}{}{}{}{}$

Answer 3

En primer lugar, encontrar el verdadero racional raíces. Uno de ellos es $0$ porque $z$ divide el polinomio. Dividir por $z-0 = z$. Para el resto, mira el resto de polinomio $z^3 + 4z^2 + 6z + 4$. Su racional raíces han dividiendo numerador $4$, el entero coeficiente, y el denominador dividiendo $1$, el coeficiente de la mayor plazo. El signo no está restringido. Así, las posibilidades son $\pm 1, \pm 2,\ \text{and}\ \pm 4$. Ensayo y error da $-2$ solamente. Divide ahora por $z - (-2) = z+2$. Ahora usted tiene una ecuación cuadrática.

Answer 4

poner z⁴+4z³+6z²+4z = 0
z(z³ + 4z²+6z + 4) = 0
z = 0 (primera raíz)

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Por golpear a n de prueba, -2 es también una raíz,
Se divide z³ + 4z²+6z + 4 (z+2) : Usted obtener otra ecuación que puede ser resuelto mediante la fórmula cuadrática.