Encontré esta pregunta mientras ojeaba "El método probabilístico", de Noga Elon.
Sean X e Y 2 variables aleatorias de valor real independientes e idénticamente distribuidas. Demostrar que: $$P(|X-Y| \leq 2) \leq 3P(|X-Y| \leq 1)$$
Así que probé lo siguiente:
$$P\{|X-Y| \leq 2\} = P\{|X-Y| \leq 1\} + P\{X-Y \in (1,2]\cup[-2,-1)\}$$ $$= P\{|X-Y| \leq 1\} + P\{X-Y \in (1,2]\} + P\{X-Y \in [-2,-1)\}$$ $$= P\{|X-Y| \leq 1\} + 2P\{X-Y \in (1,2]\}$$ donde el último paso se da porque $X-Y$ tiene una distribución simétrica. NB: Una variable aleatoria Z tiene una distribución simétrica si $$P(Z \leq z) = P(Z \geq -z) \quad \forall z \in \mathbb{R}$$
Por lo tanto, el problema se reduce a mostrar $$P\{X-Y \in (1,2]\} \leq P(|X-Y| \leq 1)$$ y estaría terminado. Por desgracia, no sé cómo proceder a partir de aquí. Agradezco cualquier ayuda, pista, comentario útil, etc. Recibo.
