¿En qué espacios se cumple el teorema de Bolzano-Weierstrass?

Question

El teorema de Bolzano-Weierstrass dice que toda secuencia acotada en $\Bbb R^n$ contiene una subsecuencia convergente. La prueba en Wikipedia evidentemente no pasa para un espacio de dimensiones infinitas, y me parece que el teorema no debería ser cierto en general: debería haber alguna métrica en la que $\langle1,0,0,0,\ldots\rangle, \langle0,1,0,0,\ldots\rangle, \langle0,0,1,0,\ldots\rangle, \ldots $ está acotada pero no contiene una subsecuencia convergente.

Dejemos que $M$ sea un espacio métrico general. ¿Qué condiciones sobre $M$ son necesarias y suficientes para toda secuencia acotada de elementos de $M$ para contener una subsecuencia convergente?

Answer 1

Un espacio métrico es secuencialmente compacto $\iff$ tiene la propiedad de Bolzano Weierstrass. Y, para un espacio métrico, la compacidad $\iff$ compacidad secuencial, y por lo tanto, el espacio métrico debe ser compacto para que la propiedad se mantenga.
Y entonces, un espacio métrico es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado. Así que, ahora, para un espacio métrico arbitrario, hay que decidir si es completo y está totalmente acotado. Supongo que los métodos diferirán de un espacio a otro y de una métrica a otra.

Como se trata de un espacio infnito, una bola unitaria cerrada en $R^{\infty}$ no está totalmente acotado.

Luego hay otro teorema (que no he estudiado hasta ahora. Simmons lo ha descrito antes, y ha dicho que lo demostraremos más adelante) que dice que un espacio de Banach es de dimensión finita $\iff$ todo subespacio acotado es totalmente acotado. Por lo tanto, los subespacios acotados de los espacios de Banach de dimensión finita no son el lugar para buscar contraejemplos.

Answer 2

El análogo más cercano del teorema de Heine-Borel en espacios métricos arbitrarios es que un subconjunto es compacto si es cerrado y totalmente acotado. Pero los conjuntos totalmente acotados tienen obviamente un cierre compacto, ya que son aquellos que tienen cubiertas finitas por $\varepsilon$ -bolas para cada $\varepsilon$ Así que esto no es una gran mejora. De todos modos, es fácil ver que su secuencia de ejemplo en $\ell^2$ o la norma que se prefiera, no está totalmente acotada ya que sus elementos son pares $\sqrt{2}$ aparte, para que ningún $\varepsilon$ -bola cubrirá más de uno de ellos para $\varepsilon<\sqrt{2}$ .

Answer 3

Un ejemplo importante de un espacio de dimensión infinita con esta propiedad es el espacio de funciones holomorfas, digamos en un subconjunto abierto del plano complejo, considerado como un espacio de Fréchet con la topología de convergencia compacta. Esto es esencialmente el teorema de Montel y los espacios localmente convexos en los que los subconjuntos acotados son relativamente compactos se llaman espacios de Montel. Muchos de los espacios localmente convexos importantes del análisis son, si no son espacios de Banach, espacios de Montel, por ejemplo, espacios de funciones o distribuciones de prueba. La mayoría de los textos estándar sobre espacios localmente convexos contienen amplias secciones sobre los espacios de Montel y sus refinamientos (espacios de Fréchet-Schwartz, espacios de Silva, espacios nucleares de Fréchet, etc.).