¿Lo que hace que una ecuación un ' ecuación de movimiento '?

Question

Cada ahora y entonces, me encuentro leyendo papers/texto hablando acerca de cómo esta ecuación es una restricción, pero que la ecuación es una ecuación de movimiento que satisfaga esta restricción.

Por ejemplo, en la formulación Hamiltoniana de la teoría de Maxwell, la ley de Gauss $\nabla\cdot\mathbf{E}=0$ es una restricción, mientras que el $\partial_\mu F^{\mu\nu}=0$ es una ecuación de movimiento. Pero entonces, ¿por qué no $\partial_\mu j^\mu=0$, la carga de la conservación de la continuidad de la ecuación, llamada ecuación de movimiento. Sino que es simplemente una 'ley de la conservación'.

Tal vez de primer orden diferenciales no pueden ser las ecuaciones de movimiento? Entonces, ¿qué de la ecuación de Dirac $(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0$? Este es un diferencial de primer orden, ¿no? O tal vez cuando hay un $i$, todas las apuestas están apagadas...

Así que, ¿qué cuenta como una ecuación de movimiento, y lo que no? ¿Cómo puedo saber si estoy mirando una restricción? o alguna ley de la conservación?

Answer 1

Una ecuación de movimiento es una ecuación (sistema de) para los básicos observables de un sistema que involucra un derivado del tiempo, para que un problema de valor inicial está bien planteado.

Así una ecuación de la continuidad normalmente no es una ecuación de movimiento, aunque puede ser parte de uno, si las corrientes son básicos.

Answer 2

OP escribió(v2):

¿Qué hace que una ecuación una ecuación de movimiento'?

Como David Zaslavsky menciona en un comentario, en todos los casos, no hay una definición exacta. A grandes rasgos, las ecuaciones de movimiento son la evolución de las ecuaciones, con lo cual la dinámica de las variables de futuro (y el pasado) puede determinar el comportamiento.

Sin embargo, si una teoría tiene un principio de la acción, entonces no es una prioridad dentro de la comunidad de la física, véase, por ejemplo, Ref. 1. A continuación, sólo el de Euler-Lagrange las ecuaciones tradicionalmente se conoce como 'las ecuaciones de movimiento", independientemente de si son o no la dinámica de las ecuaciones (es decir, contener tiempo de derivados) o de las restricciones (es decir, no contienen el tiempo de derivados).

Referencias:

1. M. Henneaux y C. Teitelboim, la Cuantización de Sistemas de trocha, 1994.

Answer 3

En general, una dinámica de la ecuación de movimiento o de la ecuación de evolución es un (hiperbólica) de segundo orden en el tiempo de la ecuación diferencial. Ellos determinan la evolución del sistema.

$\partial_{\mu}F^{i\mu}$ es una dinámica de la ecuación.

Sin embargo, una restricción es una condición que debe ser verificada en cada momento y, en particular, las condiciones iniciales tienen que verificar las restricciones. Puesto que las ecuaciones de movimiento son de orden dos en el tiempo, las restricciones tienen que ser en la mayoría de orden uno.

La ley de Gauss $\partial_{\mu}F^{0\mu}$ es una restricción, ya que sólo implica una primera derivada en el tiempo, en el espacio de configuración, es decir, cuando se $\bf E$ se expresa en función de $A_0$$\bf A$. Además, la ley de gauss es el generador de transformaciones gauge. En la teoría cuántica, sólo los estados que son aniquilados por la ley de gauss son estados físicos.

Ambas dinámicas ecuaciones y restricciones pueden ser llamadas las ecuaciones de movimiento o de Euler-Lagrange las ecuaciones de una determinada acción funcional. O, uno puede mantener el término de la ecuación de movimiento para la dinámica de las ecuaciones. Es una cuestión de semántica. La distinción importante es entre las limitaciones y la evolución de las ecuaciones.

La ley de la conservación de seguir, principalmente, de simetrías y de teorema de Noether. A menudo, pero no siempre, las ecuaciones de movimiento siga de leyes de conservación. Si uno considerers uno de los más fundamentales es una cuestión de gusto personal.

Ecuación de Dirac se relaciona varios componentes de una Dirac spinor. Cada componente verifica el de Klein-Gordon ecuación que es una evolución ecuación de orden dos.

Answer 4

En la teoría del campo, la conservación, la ley sólo establece que una cierta cantidad se conserva: si $\partial_\mu \, \star = 0$ donde $\star$ es un vector o un tensor, puede asociar una conserva de carga, etc. - usted sabe que el spiel supongo.

Las restricciones son algo que se impone por la mano (o experimento).

Finalmente, las ecuaciones de movimiento son dinámicas ecuaciones que se derivan de Euler-Lagrange ecuación. Tanto la ecuación de Dirac y $\partial^\mu F_{\mu \nu} = 0$ satisfacer este criterio. [Sin embargo, si usted elige un medidor, se vuelve mucho más claro que usted está tratando con un PDE para el campo $A_\mu$,$\square A_\mu = 0.$] También tenga en cuenta que ambos implican $\partial_t$ o $\partial_t^2$. Tenga en cuenta que $\nabla \cdot \mathbf{E}$ sólo implica espaciales derivados, por lo que no da la dinámica.

En tu ejemplo, $\partial^\mu j_\mu = 0$ es un clásico de la ley de la conservación que no describe cómo cierta cantidad microscópica evoluciona en el tiempo - que no derivan de Euler-Lagrange.