¿Por qué utilizar los ingenieros de la Z-transformar matemáticos y el uso de funciones de generación?

Question

Para (complejo valorado) de la secuencia de $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ no es la asociada a la generación de la función $$ f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n$$ y $z$-Transformar $$ Z(a)(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^{-n}$$ que sólo difieren en el signo del exponente de a $z$, es decir, ambos son esencialmente lo mismo y tienen la misma información acerca de la secuencia, aunque codificados de forma ligeramente diferente. La idea básica es la misma: asociar un holomorphic función con la secuencia y el uso complejo de cálculo (o de poder formal de la serie).

Sin embargo, los libros de ingeniería sé que tratan los $Z$-transformar ni siquiera menciona la palabra "generación de función" (bueno, uno no, pero significa que el generador de un análisis multiescala...) y de las matemáticas de los libros en la generación de la función no hablar de los $Z$-transformación (véase, por ejemplo,"generatingfunctionology").

Me pregunto: ¿por Qué? Tiene una formulación un poco de ventaja sobre el otro? O es sólo por razones históricas?

(Por CIERTO: no Hay una etiqueta para la $Z$-transformar, y lo más cercano que encontré fue "integral se transforma"...)

Answer 1

Veo tres preguntas aquí:

• No existe más conciencia sobre el hecho de que Z-transformación (ZT) y la generación de funciones (GF) son casi la misma cosa?

Yo así lo creo. Siempre he encontrado este extraño y lamentable, y me gustaría ver en cada libro de texto sobre ZT o GF una nota a pie de página ("La 'generación de funciones empleadas en la combinatoria de las matemáticas son básicamente la misma cosa como el Z-transformar" y viceversa).

• Son ellos (aparte de que el cambio de signo) en realidad la misma cosa?

Formalmente, son boviously la misma cosa, pero el contexto es diferente:

En el Z-transformar $x[n] \leftrightarrow X(z) $, la entrada es generalmente de doble cara (la suma ejecuta a través de todos los números enteros), el "lado derecho" transformación es el menos utilizado. Además, en el procesamiento de la señal, $x[n]$ es casi siempre uno de estos: 1) una señal, 2) la respuesta de un LTI filtro (causal o no), 3) a (automático/de la cruz)de la función de correlación. Por lo tanto, la entrada es normalmente limitado y decreciente para $n\a \pm \infty$ (para el caso de los filtros y correlaciones) o (para el caso de la estocástico) estacionario cero significa que las secuencias.

La generación de la función, en cambio, se aplica generalmente en el lado derecho de secuencias (es decir, cualquier $f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$). Aparte de eso, son arbitrarias, sino que a menudo crecer sin límites.

Debido a que el ZT se aplica a doble cara de entrada, entonces la asignación de $x[n] \leftrightarrow X(z) $ no es uno-a-uno: tener un único inverso, necesitamos especificar un ROC (región de convergencia) de $X(z)$, en el plano complejo. Para el GF el problema de la unicidad no surge, el ROC es implícita. (Sin embargo, como se señaló en un comentario, el radio de convergencia puede ser relevante para caracterizar algunas propiedades de la secuencia).

El Z-transformar $X(z)$ no es generalmente considerado como formal de la serie, pero como una "verdadera" función compleja. Y debido a la AR/MA/ARMA de los modelos que se suelen considerar en el clásico de procesamiento de la señal, casi siempre tratar con funciones racionales, que puede ser caracterizado en términos de ceros y polos.

El ZT transformar es, naturalmente, el pensamiento como una generalización de la transformada de Fourier, como normalmente $x[n]$ es la plaza de summable (tal vez con la adición de los sinusoides o contables de las deltas de Dirac en la transformación). Esta correspondencia está dada por la natural asignación de $z \leftrightarrow e^{jw}$, es decir, la DTF es el ZT a lo largo del círculo unidad en el plano complejo (mismo como el continuo de la transformada de Fourier es la transformada de Laplace a lo largo de la $y$ ayis). Y los conceptos clásicos (por ejemplo. energía en cada banda de frecuencia) normalmente son pertinentes y útiles. En el GF escenario, nosotros no pensamos a menudo de transformadas de Fourier.

• ¿Por qué el signo distinto?

Los diferentes de la convención puede ser entendido a partir de la diferencia anterior. Con respecto a la siembra directa como una generalización de la DFT, el signo negativo es más natural (la entrada se expresa como una "síntesis" de sinusois). Por CIERTO: esto le da una ROC que por causal de las señales o de la mano derecha de transformar - se extiende "hacia el exterior" de la mayor polo, que a su vez implica la regla común: una estable causal de filtro debe tener sus polos en el interior del círculo unidad. Para el GF, siendo sólo formal de la serie, se siente más natural para el uso de los exponentes positivos.

Answer 2

Dada una secuencia de números de $\{x[n] \colon n \in \mathbb Z\}$ $z$-transformar se define como $$X(z) = \sum_n x[n]z^{-n}$$, que cuando se evalúa a $z = \exp(j\omega)$ (donde $j = \sqrt{-1}$ es lo que los ingenieros eléctricos normalmente se utilizan para la lo que los matemáticos denotar por $i$) da $${X}(\exp(j \omega)) = \sum_n x[n] \exp(-j\omega n)$$ que se llama la de tiempo discreto la transformada de Fourier (DTFT) de la secuencia. Los ingenieros de ver esto como ligeramente más fáciles de usar y recordar que la evaluación de la generación de la función $$\hat{X}(D) = \sum_n x[n]D^{n}$$ (donde $D$ denota retraso) en $D = \exp(-j\omega)$ para llegar al mismo resultado. Así que, básicamente, es una cuestión de convención.