Sé que por cada prima $p$ el siguiente primo es menor que $2p$ . ¿Podemos mejorar esta afirmación? ¿Puede ser menor que $(3/2)p$ ? ¿Cuál es la mejor función de $p$ para los que esto es cierto (para todos los primos, no sólo infinitamente muchos)? (Supongamos $p>3$ o $p>$ que un fijo $p$ si es necesario).
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Oli
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Para cada $\epsilon$ hay un $N=N(\epsilon)$ tal que si $p\gt N$ siempre hay un primo entre $p$ y $(1+\epsilon)p$ . Un $N(\epsilon)$ que funciona puede especificarse explícitamente.
Para más información, consulte este artículo.
jasimmk
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Es cierto para cada primo mayor o igual que $11$
También se conocen resultados mucho más contundentes, por ejemplo existen primos entre
$n$ y $(1+\frac{1}{5})n $ $ $ $\forall n\ge25$
$n$ y $(1+\frac{1}{16597})n $ $ $ $\forall n\ge 2010760$
$n$ y $(1+\frac{1}{\ln(n)^2})n$ $ $ $\forall n\ge463$
$n$ y $(1+\frac{1}{2\ln(n)^2})n$ $ $ $\forall n\ge3275$
$n$ y $(1+\frac{1}{25\ln(n)^2})n$ $ $ $\forall n\ge 396738 $
Es importante señalar que los resultados de este tipo no deben tomarse como buenas estimaciones de la distribución de los primos
Son útiles porque afirman la existencia de primos sobre intervalos para números relativamente pequeños, en general si se ordenan los primos de valor decreciente a creciente, entonces la $n$ será asintótica a $n\ln(n)$ esto sugiere que los números primos se distribuyen aproximadamente de forma logarítmica,
Es decir, si se le da un número primo $m$ por término medio vas a ver la siguiente prima en torno a $m+\ln(m)$
JiminyCricket
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Lockie
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marty cohen
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El artículo de wikipedia sobre "prime gap" contiene mucha información útil.
En particular, da la historia del resultado que $p_{n+1} < p_n+p_n^c$ para distintos valores de $c$ (todos menos de 1) para un $n$ .
El mejor hasta ahora es $c < 3/4+\epsilon$ para cualquier $\epsilon > 0$ .
Otro resultado es que siempre hay un primo entre $n^3$ y $(n+1)^3$ para un $n$ .
