El morfismo de identidad en $\mathbf{Set}$ es la función de identidad

Question

He estado tratando de entender los conceptos básicos de la teoría de las categorías, y he pensado en intentar ilustrar lo que entiendo con la categoría de conjuntos, probablemente el ejemplo más fácil. En particular, he estado tratando de demostrar que $id_A$ (el morfismo de identidad en $A$ para todos $A \in Obj(\mathbf{Set})$ ) es $1_A \colon A \rightarrow A, x \mapsto x$ .

Esta es una afirmación muy intuitiva y razonable, y es trivial demostrar que $1_A$ es efectivamente un morfismo de identidad en $A$ y supongo que la unicidad de $id_A$ puede demostrarse de forma análoga a la unicidad del elemento identidad en un monoide (considerando la subcategoría que tiene $A$ como su único objeto, y las endofunciones en $A$ como sus únicos morfismos).

De esta manera, no es difícil demostrar que la proposición del título es verdadera, pero esta demostración requiere hacer una suposición o conjetura sobre lo que podría $id_A$ ser. En concreto, el esquema de la prueba es: suponer $id_A$ = $1_A$ Veremos que funciona con la definición de un morfismo de identidad, mostraremos que el morfismo de identidad es único y, en conclusión, $id_A$ sólo puede ser $1_A$ . Lo que busco, sin embargo, es una prueba más directa, que no suponga $id_A$ = $1_A$ al principio. Quiero situarme en un estado de poco o ningún conocimiento sobre conjuntos y funciones, y bajo este supuesto, ¿por qué iba a suponer $id_A$ = $1_A$ ¿al principio? ¿Por qué no probar con $id_\mathbb{Z}$ = $f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, x \mapsto x^2 + 1$ ¿ por ejemplo? No funcionaría, pero no tengo ninguna razón para pensar que $1_\mathbb{Z}$ es una mejor estimación para $id_\mathbb{Z}$ .

Supongo que la prueba por la que pregunto funcionaría para categorías de conjuntos con estructura adicional, y probablemente también para posets, aunque no tengo claro qué modificaciones requeriría para funcionar.

Gracias.

Answer 1

Bien, basándonos en la extensa discusión en los comentarios, parece que quieres considerar lo siguiente:

Supongamos que tenemos una colección bien definida de conjuntos, que queremos convertir en una categoría dejando que sean los objetos, tomando la colección de morfismos como todas las funciones teóricas de conjuntos entre los dos conjuntos, y utilizando la composición regular y las identificaciones de dominio/codominio. ¿Podemos demostrar que bajo estas circunstancias, para que tengamos una categoría entonces la flecha de identidad categórica debe sea la función de identidad del conjunto?

La clave es que tengas suficientes funciones para "separar puntos". Dado cualquier $a,b\in A$ , $a\neq b$ existe una función $g\colon A\to A$ tal que $g(a)\neq g(b)$ . Por ejemplo, defina $g$ para ser la función que mapea $b$ a $a$ y asigna todo lo demás a $b$ . (Compárese con el ejemplo que he dado en los comentarios, donde esto no se cumple).

Por lo tanto, fijar un conjunto $A$ y supongamos que $f\colon A\to A$ es la flecha que satisface las condiciones de identidad (para todos los objetos $B$ y $C$ y todas las flechas $g\colon A\to B$ y $h\colon C\to A$ , $gf = g$ y $fh = h$ ).

Escoge cualquier $a$ y $b$ en $A$ , $a\neq b$ . Dejemos que $g$ sea una función con $g(a)\neq g(b)$ Entonces $gf(a) = g(a)$ por lo que se deduce que $f(a)\neq b$ . Esto es válido para cada $b\in A-\{a\}$ , por lo que la única posibilidad es que $f(a)=a$ . Esto es válido para todos los $a\in A$ Así que $f$ debe ser el mapa de identidad.

Se puede generalizar esto a cualquier categoría basada en conjuntos en la que se puedan separar puntos o "golpear" cualquier punto: si para cada objeto $A$ y todos los elementos $a,b\in A$ con $a\neq b$ o bien existe un objeto $B$ y un morfismo $h\in\mathcal{C}(A,B)$ tal que $h(a)\neq h(b)$ o bien existe un objeto $C$ y un morfismo $g\in\mathcal{C}(C,A)$ para el que existe un elemento $c\in C$ tal que $g(c)=a$ entonces el morfismo de identidad de $A$ debe ser el mapa de identidad de $A$ .

En efecto, supongamos que $f$ es el morfismo de identidad, y sea $a\in A$ . Para cada $b\in A$ , $b\neq a$ , o bien tenemos $B$ y $h$ como en el caso anterior, y $hf(a) = h(a)$ implica que $f(a)\neq b$ o bien existe $C$ , $c$ y $g$ como en el caso anterior con $g(c) = a$ . Entonces $fg = g$ da que $f(a)\neq b$ (ya que $f(g(c))=b$ y $g(c)=a$ implica $a=b$ ). De cualquier manera, se obtiene que para todos $b\in A$ con $b\neq a$ , $f(a)\neq b$ . Así que la única posibilidad que queda es que $f(a)=a$ . Esto es válido para todos los $a\in A$ Así que $f=1_A$ .

Nota. En cierto sentido, la condición es tanto necesaria como suficiente, aunque por razones tontas: si la condición no se cumple por $A$ y $a$ entonces el mapa de identidad de $A$ no puede ser el morfismo de identidad, simplemente porque el mapa de identidad de $A$ cumple las condiciones dadas: para todo $b\neq a$ tienes $1_A(a)\neq 1_A(b)$ y $1_A(a)=a$ .

Añadido. Este argumento se aplica a categorías como los espacios topológicos (porque siempre se tiene el mapa del $1$ -espacio topológico de elementos a su espacio topológico mapeando el punto único a $a$ ); espacios topológicos punteados (el espacio topológico punteado discreto de 2 elementos mapea el punto no distinguido a tu punto favorito); grupos (tienes mapas del grupo cíclico a cualquier grupo, mapeando el generador a tu elemento $a$ ); y otros. Es difícil hacer que funcione con posets como categorías, porque los posets como categorías no son realmente categorías basadas en conjuntos (los objetos no suelen ser conjuntos y flechas funciones teóricas de conjuntos entre ellos); se pueden modelar como categorías basadas en conjuntos, pero entonces el resultado no tiene por qué cumplirse: el ejemplo que di en los comentarios puede pensarse como el conjunto totalmente ordenado con dos elementos, por ejemplo, y aquí no se tiene $id_A = 1_A$ .

Answer 2

La mayoría de las veces, el $S$ -matriz se define como un operador entre los espacios de Hilbert inicial y final asintóticos para un dependiente del tiempo proceso de dispersión, es decir, entre $t\to-\infty$ y $t\to\infty$ . Allí unitaridad codifica la conservación de las probabilidades en el tiempo. Por otro lado, el libro que menciona OP, Ref. 1, habla de un independiente del tiempo proceso de dispersión. Para una discusión de la conexión entre la dispersión dependiente del tiempo y la independiente del tiempo, véase este Pregunta de Phys.SE.

En esta respuesta sólo consideraremos la dispersión independiente del tiempo. La Ref. 1 define para un sistema 1D (dividido en tres regiones $I$ , $II$ y $III$ con un potencial localizado $V(x)$ en la región central $II$ ), a $2\times 2$ matriz de dispersión $S(k)$ como una matriz que indica cómo dos ondas asintóticas entrantes (que se mueven a la izquierda y a la derecha) (de número de onda $\mp k$ con $k>0$ ) se relacionan con dos ondas asintóticas salientes (que se mueven a la izquierda y a la derecha). En las fórmulas,

$$\left. \psi(x) \right|_{I}~=~ \underbrace{A(k)e^{ikx}}_{\text{incoming right-mover}} + \underbrace{B(k)e^{-ikx}}_{\text{outgoing left-mover}}, \qquad k>0, \tag{1} $$ $$\left. \psi(x)\right|_{III}~=~ \underbrace{F(k)e^{ikx}}_{\text{outgoing right-mover}} + \underbrace{G(k)e^{-ikx}}_{\text{incoming left-mover}}, \qquad\qquad\qquad\tag{2}$$

$$ \begin{pmatrix} B(k) \\ F(k) \end{pmatrix}~=~ S(k) \begin{pmatrix} A(k) \\ G(k) \end{pmatrix}.\tag{3}$$

Para demostrar que una matriz de dimensión finita $S(k)$ es unitario basta con demostrar que $S(k)$ es un isometría ,

$$ S(k)^{\dagger}S(k)~\stackrel{?}{=}~{\bf 1}_{2\times 2} \quad\Leftrightarrow\quad |A(k)|^2+ |G(k)|^2~\stackrel{?}{=}~|B(k)|^2+ |F(k)|^2,\tag{4}$$

o de forma equivalente,

$$ |A(k)|^2-|B(k)|^2 ~\stackrel{?}{=}~|F(k)|^2-|G(k)|^2.\tag{5} $$

La ecuación (5) puede justificarse con los siguientes comentarios y razonamientos.

1. $\psi(x)$ es una solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo ( TISE ) $$ \hat{H} \psi(x) ~=~ E \psi(x), \qquad \hat{H}~:=~\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(x),\qquad \hat{p}~:=~\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x},\tag{6}$$ para la energía positiva $E>0$ .

2. El espacio de solución para la ecuación de Schrödinger $(6)$ que es una EDO lineal de segundo orden, es un espacio de vectores bidimensional.

3. Se deduce de la ec. $(6)$ que los números de onda $\pm k$ , $$k ~:=~\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} ~\geq~ 0,\tag{7} $$ debe ser igual en las dos regiones asintóticas $I$ y $III$ . Esto implicará que el $M$ -(que se definirá más adelante) y el $S$ -son diagonales en $k$ -espacio.

4. Además, se deduce que existe un lineal biyectiva mapa $$ \begin{pmatrix} A(k) \\ B(k) \end{pmatrix} ~\mapsto~ \begin{pmatrix} F(k) \\ G(k) \end{pmatrix}.\tag{8} $$ En la Ref. 2, el matriz de transferencia $M(k)$ se define como la matriz correspondiente $$ \begin{pmatrix} F(k) \\ G(k) \end{pmatrix}~=~ M(k) \begin{pmatrix} A(k) \\ B(k) \end{pmatrix}.\tag9$$ El $S$ -matriz $(3)$ es un reordenamiento de la ec. $(9)$ .

5. Se puede utilizar la ecuación de Schrödinger. $(6)$ (y la realidad de $E$ y $V(x)$ ) para demostrar que el Wronskian $$ W(\psi,\psi^{\ast})(x)~=~\psi(x)\psi^{\prime}(x)^{\ast}-\psi^{\prime}(x)\psi(x)^{\ast},\tag{10}$$ o, de forma equivalente, el corriente de probabilidad $$ J(x)~=~\frac{i\hbar}{2m} W(\psi,\psi^{\ast})(x),\tag{11}$$ no depende de la posición $x$ , $$ \frac{\mathrm dW(\psi,\psi^*)(x)}{\mathrm dx} ~=~\psi(x)\psi^{\prime\prime}(x)^{\ast}-\psi^{\prime\prime}(x)\psi(x)^{\ast} ~\stackrel{(6)}{=}~0.\tag{12}$$ La unitaridad (5) equivale a la afirmación de que $$\left. W(\psi,\psi^*)\right|_{I}~=~\left. W(\psi,\psi^*) \right|_{III}.\tag{13}$$ La ref. 3 menciona que la ec. $(12)$ codifica la conservación de la energía en la dispersión.

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Referencias:

1. D.J. Griffiths, Introducción a la mecánica cuántica; Sección 2.7 en la 1ª edición de 1994 y el problema 2.52 de la 2ª edición de 1999.

2. D.J. Griffiths, Introducción a la mecánica cuántica; Problema 2.49 de la 1ª edición de 1994 y problema 2.53 de la 2ª edición de 1999.

3. P.G. Drazin y R.S. Johnson, Solitones: An Introduction, 2ª edición, 1989; Sección 3.2.

Answer 3

Supongamos que disponemos de un súper telescopio espacial Hubble. Un telescopio óptico con óptica de difracción limitada y apertura suficiente para obtener imágenes de estrellas individuales en galaxias lejanas. ¿Qué fracción del cielo se observaría oscura?

Sin duda, sería más del 99%. Si, hipotéticamente, el 0% del cielo estuviera oscuro, todos los objetos se calentarían por término medio a unos 3.000 K (estimación de la temperatura media de la radiación térmica de las estrellas, teniendo en cuenta los corrimientos al rojo medios según la llamada relación tiempo-desplazamiento cósmico). Dado que el planeta enano Eris alcanza una temperatura superficial de 30 K, debe ser que menos del 1% de las líneas de visión de Eris chocan con una estrella.

Se trata, por supuesto, de un límite superior impreciso, ya que Eris está muy cerca de la estrella llamada Sol. En otras palabras, la temperatura de 30 K se debe casi en su totalidad a la porción relativamente grande del cielo de Eris que está cubierta por el sol.

Si va a la página de Wikipedia dedicada a La paradoja de Olbers se puede leer un razonamiento similar que lleva a la conclusión:

"el cielo es unas cincuenta mil millones de veces más oscuro de lo que sería si el universo no estuviera en expansión ni fuera demasiado joven para haber alcanzado el equilibrio"

Lo que se traduce en que aproximadamente el 99,999999998% del cielo está oscuro. Nuestro universo es un lugar frío y vacío.