Considerar $k$ un campo y el % de anillos $A=k[X^2,X^3]\subset B=k[X]$. ¿No es plana cómo probar que $B$ $A$ usando sólo la definición de llanura que mantiene secuencias exactas después de productos del tensor?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Que $m = (x^2, x^3)A$ y considerar la secuencia exacta corta
$$0 \to m \to A \to A/m \to 0$$
Tensoring con $B$ $A$ da
$$m \otimes_A B \xrightarrow{\phi} B \to B/mB \to 0$$
donde $\phi(m \otimes b) = mb$. Entonces $x^2 \otimes_A x - x^3 \otimes_A 1 \in \ker \phi$, $x^2 \otimes_A x \ne x^3 \otimes_A 1$ $m \otimes_A B$ (para ver esto, se suffies para comprobar que son elementos distintos de la $k$-vector espacio $(m \otimes_A B) \otimes_A k \cong m \otimes_A (k \otimes_k k) \otimes_A B \cong (m/m^2) \otimes_k (B/mB)$. Ahora $\{\overline{x^2},\overline{x^3}\}$ es a base de $m/m^2$, y $\{\overline{1},\overline{x}\}$ es a base de $B/mB$, así que elementos de la base distintos de $\overline{x^2} \otimes_k \overline{x}$ $\overline{x^3} \otimes_k \overline{1}$, $(m/m^2) \otimes_k (B/mB)$). Así $\phi$ no es inyectiva.
