¿Qué es interesantes/útiles sobre regularidad de Castelnuovo-Mumford?
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Esto es lo que pienso acerca de Castelnuovo-Mumford regularidad. Es un invariante de un ideal (o módulo o gavilla), que proporciona una medida de lo complicado que lo ideal (o módulo o gavilla). Esta invariante está relacionada con la libre resoluciones, y por lo tanto las medidas de la complejidad desde esa perspectiva.
¿Por qué es interesante? Una respuesta es que puede ser utilizado para proporcionar un efectivo atado por dos famosos teoremas. El primer teorema que tengo en mente es que la función de Hilbert de una gradual ideal (o un finitely generado gradual módulo) sobre el polinomio anillo finalmente está de acuerdo con el polinomio de Hilbert de ese ideal (o módulo). El segundo teorema que tengo en mente es Serre de fuga, que dice que, dado un coherente gavilla $\mathcal F$ $\mathbb P^n$ existe $d$ tal que $H^i(\mathbb P^n, \mathcal F(e))=0$ todos los $i>0$ y todos los $e>d$. Estos dos teoremas son relacionados: si $M$ es graduado módulo de profundidad $> 0$, e $\mathcal F$ es la asociada a la gavilla de $M$, entonces la función de Hilbert de $M$ grado $e$ es igual a $H^0(\mathbb P^n,\mathcal F(e))$.
Un ejemplo donde Castelnuovo-Mumford es particularmente útil proviene de la construcción del esquema de Hilbert (he escuchado que esto está relacionado con Mumford del uso original, aunque yo no tengo ninguna referencia.) El punto básico es que se puede parametrizar el conjunto de ideales con un dado de Hilbert función considerando subloci de ciertos Grassmanians la satisfacción de determinantal criterios, mientras que es menos claro (al menos para mí) ¿cómo definir parámetros ideales con un polinomio de Hilbert.
Otro gran ejemplo donde Castelnuovo-Mumford es útil se presenta en Eisenbud "La Geometría de las Syzygies" en el capítulo 4, donde se resuelve el problema de interpolación de puntos en el espacio afín.
