Confusión en relación con el principio de mínima acción en Landau ' s "La teoría clásica de campos"

Question

Edit: El título anterior, en realidad no se pregunte lo mismo que la pregunta (lo siento por eso), así que he cambiado. Para aclarar, yo entiendo que la acción no es siempre un mínimo. Mis preguntas son en los puntos 1. y 2. a continuación.

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Entiendo que el "principio de la menor acción" es algo de un nombre inapropiado, ya que nos encontramos con que para determinar la ruta tomada por un sistema, sólo tenemos que imponer la condición de que la acción sea estacionaria, es decir, que $\delta S$ debe desaparecer de primer orden para las pequeñas variaciones de la ruta, y esto lleva a la de Euler-Lagrange las ecuaciones.

En La Teoría Clásica de Campos, Landau se analiza el relativista de acción para una partícula libre:

Así que para una partícula libre la acción debe tener la forma

$$S = -\alpha \int_a^b ds$$

(...) Es fácil ver que $\alpha$ debe ser una cantidad positiva para todas las partículas. De hecho, como vimos, [anteriores], $\int_a^b ds$ tiene su valor máximo a lo largo de una recta mundo de línea; integrando a lo largo de una curva mundo en línea puede hacer la integral arbitrariamente pequeño. Por lo tanto la integral de la $\int_a^b ds$ con el signo positivo no puede tener un mínimo; con el signo opuesto claramente tiene un mínimo, a lo largo de la recta mundo en línea.

También hay una nota de pie de página, se dirigió a un par de párrafos antes, pero que es relevante:

Estrictamente hablando, el principio de la menor acción afirma que la integral de la $S$ debe ser de un mínimo sólo para infinitesimal de longitud de la vía de integración. Para las trayectorias de longitud arbitraria, podemos decir que el $S$ debe ser extremo, no necesariamente un mínimo.

Tengo dos preguntas con respecto a esto:

1. ¿Cómo es el estado "la acción debe ser de un mínimo de desplazamientos infinitesimales", formulado? Nunca he oído hablar de que fuera de Landau libros, y en la Mecánica de lo menciona así, pero no entrar en detalles. Es este discutido un poco más en algún lugar?

2. Si para el conjunto de la ruta de acceso de la acción sólo debe ser estacionaria, ¿cómo podemos hacer que el argumento de que el signo negativo? Si la acción tenía que ser de un mínimo, entonces tendría sentido, pero sin duda el hecho de que $\delta S$ = 0 no se ve afectado por un total de signo?

Answer 1

Tal vez un simple ejemplo está en orden. Considere la posibilidad de un oscilador armónico

$$\etiqueta{1} S~=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt~L, \qquad L~=~\frac{m}{2}\dot{x}^2 - \frac{k}{2}x^2, $$

con frecuencia característica

$$\tag{2} \frac{2\pi}{T}~=~\omega~=~\sqrt{\frac{k}{m}}, $$

y las condiciones de contorno de Dirichlet

$$\tag{3} x(t_i)~=~x_i \quad\text{and}\quad x(t_f)~=~x_f. $$

Para los valores de límite (3), se puede demostrar que la clásica ruta de acceso es sólo un mínimo de la acción (1) si el período de tiempo

$$\tag{4} \Delta t~:=~t_f-t_i~<~ \frac{T}{2}$$

es más pequeño que una característica de la escala de tiempo $\frac{T}{2}$ del problema. Para $\Delta t>\frac{T}{2}$ la clásica ruta de acceso no es más un mínimo para la acción (1), pero sólo un punto de silla. Si consideramos más grande y más grande $\Delta t$, un nuevo modo negativo/dirección desarrolla y aparece cada vez que el $\Delta t$ cruza un múltiplo de $\frac{T}{2}$.

Es de esos ejemplos que Ref. 1. tiene en mente cuando dice que el principio de la menor acción es en realidad un principio de estacionario acción. El anterior fenómeno es bastante general, y en relación con conjugado puntos/puntos de inflexión y de la teoría de Morse. En semiclásica de expansión de la mecánica cuántica, este comportamiento afecta a la metaplectic corrección/Maslov índice. Ver, por ejemplo, Ref. 2 para más detalles.

Un fenómeno similar se produce en la óptica geométrica, donde es fácil de construir ejemplos de trayectorias de la luz que no hay que minimizar el tiempo, cf. Fermat principio de menos tiempo.

Referencias:

1. Landau y Lifshitz, Vol.2, de La Teoría Clásica de Campos, p. 24.

2. W. Dittrich y M. Reuter, Clásica y a la Dinámica Cuántica, 1992, Capítulo 3.

Answer 2

Sus preguntas son contestadas en el Cálculo de variaciones, Gelfand, de 2000, el artículo 36.2. En primer lugar tenemos un teorema:

El funcional $S[x] = \int_a^b L(t,x,\dot{x}) dt$, $x(a) = A$, $x(b) = B$ deben satisfacer las siguientes condiciones para tener una débil mínimo de $x = x(t)$:

1. La curva de $x(t)$ satisface de Euler-Lagrange ecuación, es decir, que es un extremal,
2. $\partial_{\dot{x}}\partial_{\dot{x}} L |_{x(t)} >0$,
3. El intervalo de $[a,b]$ no contiene puntos de conjugado de a $a$.

La definición de conjugar los puntos es en el p.114.

1. Un ejemplo que ilustra esto es el oscilador armónico, $$m\ddot{x} + kx = 0, \quad x(0)=0, \dot{x}(0) = 1$$ with solution $x(t) = \frac{1}{\omega}\sin(\omega t)$, $\omega \equiv \sqrt{\frac{k}{m}}$ and action $$S[x] = \frac{1}{2}\int_a^b m\dot{x}^2 - kx^2 dt.$$ Points $(t=\pi/\omega,x=0)$ and $(t=0,x=0)$ are conjugate, because every extremal starting from $x(0)=0$ intersects the aforementioned solution at $(\pi/\omega,0)$. The conditions of the previous theorem for a minimum are satisfied for $0\leq \leq t < \pi/\omega$ y no para el agrandamiento de los intervalos.
2. En la página 161 Gelfand muestra que, para una cuerda en vibración con extremos fijos no hay ningún intervalo de tiempo sin un par de conjugar puntos, por lo tanto no podemos garantizar que la solución de la ecuación de onda minimiza la acción en todo. A continuación, afirma que esta es la razón por la que hemos de sustituir el principio de menos la acción con el principio de la estacionario de acción para los sistemas mecánicos.

Answer 3

Creo que esto podría ser un poco de mota Landau convención de signos, ya que en principio podemos establecer:

$$\int_a^b ds = \int_a^b \frac{ds}{dp}dp = \int_a^b \pm \sqrt{\pm\eta_{\mu \nu} \frac{d x^\mu}{dp}\frac{d x^\nu}{dp}}dp$$

Ya que estamos con la intromisión de la señal en el interior de la raíz cuadrada basado en ya sea en la investigación como el espacio/tiempo-como las curvas de $x^\mu (p)$, se puede poner un signo menos delante para indicar que estamos trabajando con un tipo diferente de "longitud", que en el espacio normal. En ese caso se podría realmente llegar a un mínimo con el factor de $-\alpha$.

Toda esta "mínima acción" cosa " es más que un vestigio histórico de la filosofía natural y es cierto sólo para el especial de Lagrangians. Por ejemplo, en el efecto de lente gravitacional (es decir, null geodesics en la relatividad), múltiples imágenes son obtenidas por múltiples trayectorias extremales de los cuales al menos uno es un máximo (en el caso de varias imágenes de una sola imagen, es un mínimo).

Sin embargo, prácticamente a investigar el mínimo, se puede ampliar el Lagrangiano como en el habitual derivación de Euler-Lagrange las ecuaciones , pero de segundo orden en la variación de la trayectoria $\delta x^\mu$. Para el primer fin de obtener el de Euler-Lagrange las ecuaciones que generalmente debe resolver. La solución es entonces sustituido en el segundo orden de expansión que hace que el primer fin de desaparecer y usted deberá investigar el signo de la expresión resultante.