El desarrollo de este operador identidad se remonta hasta el principio del siglo 20.
Creo que el papel De la evaluación numérica de Fredholm determinantes de Folkmar Bornemann (2008) podría ser útil para usted. Bornemann presenta en la Sección 3: Definición y Propiedades de Fredholm y Operador de los factores Determinantes de este trabajo de cuatro diferentes representaciones de su operador declarado identidad. Él escribe:
Para una clase de seguimiento operador $A \in \mathcal{J}_1(\mathcal{H})$ hay varias construcciones equivalentes que definen uno y el mismo toda lafunción
\begin{align*}
d(z)=\text{det}(I+zA)\qquad(z\in\mathbb{R})
\end{align*}
de hecho, cada construcción se ha elegido al menos una vez, en diferentes lugares de la literatura, como la base de la definición del operador determinante:
$1.)$ Gohberg y Krein ($1969$, p. $157$) definir el determinante por el localmente uniformemente convergente (infinito) producto
\begin{align*}
\text{det}(I+zA)=\prod_{n=1}^{N(A)}(1+z\lambda_n(A))
\end{align*}
que posee ceros exactamente en $z_n=-1/\lambda_n(A)$, contando multiplicidad.
$2.)$ Gohberg et al. ($1990$, p. $115$) definir el determinante de la siguiente manera. Dado cualquier secuencia finita de rango operadores de $A_n$ $A_n\rightarrow A$ convergentes en la clase de seguimiento de la norma, la secuencia de finito dimensionales determinantes
\begin{align*}
\text{det}\left(I+zA_n\upharpoonright_{\text{ran}(A_n)}\right)
\end{align*}
(que son polinomios en z) converge localmente uniforme a $\text{det}(I+zA)$, independientemente de la elección de la secuencia de $A_n$. La existencia de al menos una secuencia de la siguiente manera a partir de la singular representación de valor en $(2.1)$.
$3.)$ Dunford y Schwartz ($1963$, p. $1029$) definir el determinante por lo que a menudo es llamado Plemelj la fórmula de
\begin{align*}
\text{det}(I+zA)=\exp(\text{tr}\ \text{log}(I+zA))=\exp\left(-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-z)^n}{n}\text{tr}A^n\right)
\end{align*}
que converge para $|z|<1/|\lambda_1(A)|$ y analíticamente puede ser continuado como una función completa de todas las $z\in\mathbb{C}$.
$4.)$ Grothendieck ($1956$, p. $347$) y Simon ($1977$, p. $254$) definir el determinante más elegantemente con un poco de álgebra exterior (Greub $1967$). Con $\bigwedge^n(A)\in\mathcal(J)_1\left(\bigwedge^n(\mathcal{H})\right)$ $n^\text{th}$ exterior de productos de $A$, el poder de la serie
\begin{align*}
\text{det}(I+zA)=\sum_{n=0}^{\infty}z^n\text{tr}\bigwedge^n(A)
\end{align*}
converge para todos los $z\in\mathbb{C}$. Tenga en cuenta que $\text{tr}\bigwedge^{n}(A)=\sum_{i_1<\cdots<i_n}\lambda_{i_1}(A)\cdots\lambda_{i_n}(A)$ es sólo el $n^\text{th}$ simétrica de la función de los autovalores de a $A$.
Las pruebas de la equivalencia se puede encontrar en (Gohberg et al. $2000$, Cap. $2$) y (Simon $2005$, Cap. $3$).
En una nota de pie de página para $3.)$ por encima de, Bornemann proporciona información adicional a la Plemelj Fórmula, a saber:
Plemelj ($1904$, Eq. $(62)$) había dado una forma correspondiente de la Fredholm determinante de la integral de los operadores. Sin embargo, ya se puede encontrar en Fredholm ($1903$, p. $384$).
Así, la fórmula parece remontarse hasta Fredholm $1903$. Supongo que según algunas referencias que he encontrado, es el siguiente trabajo:
I. Fredholm, Sur une classe d'équation fonctionelle, Acta de Matemáticas. $27, 365-390 (1903)$.
