Cardinalidad del conjunto de funciones reales continuas

Question

Creo que el conjunto de todos los $\mathbb{R\to R}$ funciones continuas es $\mathfrak c$ El cardinalidad del continuo . Sin embargo, he leído en el libro "Metric spaces" de Ó Searcóid que el conjunto de todos los $[0, 1]\to\mathbb{R}$ funciones continuas es mayor que $\mathfrak c$ :

"Está demostrado en muchos libros de texto que $\mathbb{Q}$ es contable, que $\mathbb{R}$ es incontable, que todo intervalo no degenerado es incontable, que la colección de funciones continuas denotadas en $[0,1]$ es de mayor cardinalidad que $\mathbb{R}$ y que hay conjuntos de cardinalidad cada vez mayor".

Entiendo que (mediante la composición con la función continua $\tan$ o $\arctan$ ) estos conjuntos de funciones continuas tienen la misma cardinalidad. Por lo tanto, ¿cuál es la afirmación correcta y cómo lo demuestro?

Answer 1

La cardinalidad es al menos la de la continuidad, porque cada número real corresponde a una función constante. La cardinalidad esa lo más de la continuidad, porque el conjunto de real funciones continuas inyecta en el espacio de secuencias de $R^{N}$ mediante la asignación de cada función continua a sus valores en todos los puntos racionales. Desde los puntos racionales son densos, esto determina la función.

El Schröder-Bernstein teorema ahora implica la cardinalidad es precisamente el de la continuidad.

Tenga en cuenta que entonces el conjunto de secuencias de reales es también de la misma cardinalidad como los reales. Esto es debido a que si tenemos una secuencia de representaciones binarias de dólares.a_1a_2..., .b_1b_2..., .c_1c_2...$, podemos empalme juntos a través de $.a_1 b_1 a_2 c_1 b_2 a_3...$ de modo que una secuencia de reales pueden ser codificados por un número real.

Answer 2

Supongamos que $f:\mathbb R\to\mathbb R$ es una función continua. Sea $x\in\mathbb R$ . Entonces hay una secuencia de números racionales $(q_n)_{n=1}^\infty$ que converge a $x$ . Continuidad de $f$ significa que $$\lim_{n\to\infty}f(q_n) = f(\lim_{n\to\infty}q_n)=f(x).$$ Esto significa que los valores de $f$ en números racionales ya determinan $f$ . En otras palabras, el mapeo $\Phi:C(\mathbb R,\mathbb R)\to \mathbb R^{\mathbb Q}$ definido por $\Phi(f)=f|_{\mathbb Q}$ , donde $f|_{\mathbb Q}:\mathbb Q\to\mathbb R$ es la restricción de $f$ a $\mathbb Q$ es una inyección. (Lo que implica que $|C(\mathbb R,\mathbb R)|<|\mathbb R^{\mathbb Q}|$ ). Aquí, $C(\mathbb R,\mathbb R)$ denota el conjunto de todas las funciones continuas de $\mathbb R$ a $\mathbb R$ como siempre.

Ahora, la aritmética cardinal nos dice que $|\mathbb R^{\mathbb Q}| = (2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=2^{\aleph_0}=|\mathbb R|$ . (A saber, $(a^b)^c=a^{b\cdot c}$ es válido para los números cardinales).

Answer 3

La cardinalidad de su conjunto es al menos $2^{\aleph_0} = \frak{c}$ porque todo número real corresponde a una función constante.

La cardinalidad es como máximo $\frak{c}$ porque el conjunto de funciones reales continuas inyecta en el espacio de secuencias $R^{N}$ asignando cada función continua a sus valores en todos los puntos racionales . Desde el los puntos racionales son densos en $\mathbb{R}$ Esto determina la función.

• Sin recurrir a los argumentos de epsilon-delta: Sea $f$ y $g$ sean funciones reales continuas y $f(x) = g(x)$ para todos los racionales $x$ . Para cualquier número real $c$ (en particular, un irracional $c$ ), existe una secuencia de Cauchy de números racionales tal que $\lim_{n \to \infty}x_{n}=c$ . Desde $f$ y $g$ son continuos, $\lim_{n \to \infty}f({x_{n}})=f({c})$ y $\lim_{n \to \infty}g({x_{n}})=g({c})$ . Desde $x_n$ es racional, $f(x_n) = g(x_n)$ para todos $n$ por lo que los dos límites deben ser iguales y así $f(c) = g(c)$ para todos los reales $c$ .

El Teorema de Schroeder-Bernstein ahora implica que la cardinalidad es precisamente la del continuo: Sea $k$ sea la cardinalidad de su conjunto. Hemos demostrado que $k \ge \frak{c},$ y que $k \le \frak{c}$ . Por el Teorema de Schroeder-Bernstein, $k = \frak{c}$ .

Nótese que entonces el conjunto de secuencias de reales es también de la misma cardinalidad que los reales. Esto es así porque si tenemos una secuencia de representaciones binarias $.a_1a_2..., .b_1b_2..., .c_1c_2...$ podemos empalmarlos a través de $.a_1 b_1 a_2 c_1 b_2 a_3...$ para que una secuencia de reales pueda ser codificada por un número real.

Véase también este post sobre Cardinalidad del conjunto de todas las funciones reales de valores reales no necesariamente continua. En este caso, dado que nos interesa la cardinalidad de las funciones continuas de valor real, tenemos que $$|\mathbb R^{\mathbb Q}| = |\mathbb{R}^{\mathbb{N}}|= (2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=2^{\aleph_0}=|\mathbb R|=\frak{c}.$$

Aquí hay un buen sitio que proporciona una tutorial de aritmética cardinal .

Answer 4

Dejemos que $x$ sea cualquier número real; existe una secuencia $\langle q_n:n\in\Bbb N\rangle$ de números racionales que convergen a $x$ . Si $f$ es continua, entonces $f(x)=\lim_{n\to\infty}f(q_n)$ Así que $f(x)$ está completamente determinada por los valores $f(q_n)$ para $n\in\Bbb N$ y por lo tanto por $f\upharpoonright\Bbb Q$ .

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Para la parte de cardinalidad del argumento voy a seguir el esquema que has dado en la pregunta; dependiendo de lo que sepas de aritmética cardinal, puede haber argumentos sustancialmente más cortos. También voy a arreglar el argumento para utilizar algunas técnicas que son útiles de forma más general, de nuevo quizás a expensas de la brevedad.

Asumo que sabes que $|\Bbb Q|=|\Bbb N|$ y por lo tanto que existe una biyección $\varphi:\Bbb Q\to\Bbb N$ . Esto produce fácilmente una biyección $\Phi:\Bbb R^{\Bbb N}\to\Bbb R^{\Bbb Q}$ : si $f:\Bbb N\to\Bbb R$ entonces $$\Phi(f):\Bbb Q\to\Bbb R:q\mapsto f\big(\varphi(q)\big)\;,$$ es decir, $\Phi(f)=f\circ\varphi$ . (Le dejo que compruebe que $\Phi$ es una biyección).

Ahora define un mapa $$N:\Bbb R\to\wp(\Bbb N):x\mapsto\{\varphi(q):q\in\Bbb Q\text{ and }q\le x\}\;;$$

claramente $N$ es inyectiva (uno a uno), y $N(x)$ es infinito para cada $x\in\Bbb R$ . Así, podemos escribir $$N(x)=\{n_x(k):k\in\Bbb N\}\;,$$ donde $n_x(k)<n_x(k+1)$ para cada $k\in\Bbb N$ . Esto no es nada más complicado que enumerar $N(x)$ en orden creciente, pero nos permite definir la secuencia $\nu(x)=\langle n_x(k):k\in\Bbb N\rangle\in\Bbb N^{\Bbb N}$ . Ahora tenemos un mapa

$$\nu:\Bbb R\to\Bbb N^{\Bbb N}:x\mapsto\nu(x)=\langle n_x(k):k\in\Bbb N\rangle\;,$$

y no es difícil comprobar que $\nu$ es inyectiva. Por otro lado, el mapa que toma una secuencia $\langle n_k:k\in\Bbb N\rangle\in\Bbb N^{\Bbb N}$ al número real cuyo fracción continua la expansión es $$[n_0;n_1+1,n_2+1,n_3+1,\ldots]$$ es una inyección de $\Bbb N^{\Bbb N}$ a $\Bbb R$ (de hecho a $\Bbb R\setminus\Bbb Q$ ), por lo que por el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein existe una biyección entre $\Bbb R$ y $\Bbb N^{\Bbb N}$ . (Escribo $n_k+1$ en la continua expansión de la fracción, porque mi $\Bbb N$ incluye $0$ .)

Claramente, entonces, existe una biyección entre $\Bbb R^{\Bbb N}$ y $\left(\Bbb N^{\Bbb N}\right)^{\Bbb N}$ . Para rematar el argumento en la línea que has esbozado en tu pregunta, realiza los siguientes pasos.

• Encuentre una biyección entre $\left(\Bbb N^{\Bbb N}\right)^{\Bbb N}$ y $\Bbb N^{\Bbb N\times\Bbb N}$ . (Más generalmente, para cualquier conjunto $A,B$ y $C$ existe una biyección entre $\left(A^B\right)^C$ y $A^{B\times C}$ Este hecho es a menudo útil y vale la pena conocerlo.

• De la misma manera que encontré una biyección entre $\Bbb R^{\Bbb N}$ y $\Bbb R^{\Bbb Q}$ , demuestre que existe una biyección entre $\Bbb N^{\Bbb N}$ y $\Bbb N^{\Bbb N\times\Bbb N}$ .

• Concluir que existe una biyección entre $\Bbb R^{\Bbb N}$ y $\Bbb N^{\Bbb N}$ y por lo tanto entre $\Bbb R^{\Bbb N}$ y $\Bbb R$ .

Answer 5

Es al menos $c$ ya que todas las funciones constantes son continuas. Consideremos ahora el hecho de que $\mathbb{R}$ es separable.