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Question

No puedo averiguar cómo integrar

$$\int \sqrt{1+x^{\frac{3}{2}}} \operatorname d x$$

He probado sustitución dejando $u = x^3$, pero no ir a ningún lado. También trató de integrar mediante una sustitución trigonométrica, pero que también me tiene en ninguna parte. Entonces traté de Wolfram Alpha, y me consiguió incluso en ninguna parte-er!

Si usted podría darme un Consejo sobre dónde ir, voy a intentar responder a esta pregunta en un momento posterior. ¡Gracias!

Answer 1

Que $I = \int \sqrt{1 + x^{3/2}} \, \mathrm{d} x$. Integración por partes: $$ \begin{eqnarray} I &=& x \sqrt{1 + x^{3/2}} - \int x \frac{3}{4} \, \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x^{3/2}}} \, \mathrm{d} x = x \sqrt{1 + x^{3/2}} - \frac{3}{4} \int \sqrt{1+x^{3/2}} \, \mathrm{d} x + \frac{3}{4} \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+x^{3/2}}} \\ &=& -\frac{3}{4} I + x \sqrt{1 + x^{3/2}} + \frac{3}{4} \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+x^{3/2}}} \end{eqnarray} $$ Así $$ I = \frac{4}{7} x \sqrt{1 + x ^ {3/2}} + \frac{3}{7} \int \frac{\mathrm{d} x} {\sqrt {1 + x ^ {3/2}}} $$ El integral esta última no es elemental y puede evaluarse en términos de función hipergeométrica de Gauss: $$ I = \frac{4}{7} x \sqrt{1 + x ^ {3/2}} + \frac{3 x} {7} \, _2F_1\left {} (\frac {1} {2}, \frac{2}{3}; \frac{5}{3}; - x ^ {3/2} \right) $$

Answer 2

Vamos a reorganizar la integral:

$I=\int \sqrt{1^2+(x^\frac{3}{4})^2} dx$ , y hacer la sustitución $x^\frac{3}{4}=t \Rightarrow \frac{3}{4}x^\frac{-1}{4} dx=dt$ ,

Desde $x=t^\frac{4}{3} \Rightarrow dx=\frac{4}{3}t^\frac{1}{3} dt$; si sustituimos esto en la integral obtenemos los siguientes:

$I=\frac{4}{3}\int \sqrt {(1^2+t^2)} t^\frac{1}{3} dt$,

Esta integral puede resolverse mediante integración por partes donde

$u=t^\frac{1}{3}$ $dv=\sqrt {1^2+t^2} dt$ , y la integral de la $v=\int\sqrt {1^2+t^2} dt$ puede ser resuelto mediante la aplicación de la primera fórmula de esta lista.

Answer 3

El anteproyecto de la sustitución de $x=u^2$ los rendimientos de la integral

$$2\int u\sqrt{1+u^3}\mathrm du$$

Este es, de hecho, en la forma de una integral elíptica, donde la cúbico bajo la raíz cuadrada factorizes como $(u+1)(u^2-u+1)$.

Para el manejo de las integrales como estas, primero se realiza un anteproyecto de Möbius sustitución. En este caso, nos vamos a

$$u=-\frac{-1+\sqrt{(-1)^2-(-1)+1}+(-1-\sqrt{(-1)^2-(-1)+1})v}{1+v}=\frac{2\sqrt{3}}{1+v}-(1+\sqrt{3})$$

para dar

$$12\int\frac{(1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})v)}{(1+v)^5}\sqrt{(1-v^2)\left(2\sqrt{3}-3+(2\sqrt{3}+3\right) v^2)}\mathrm dv$$

Ahora podemos usar el Jacobiano funciones elípticas. Dejar $v=\mathrm{cn}(w|m)$, $\mathrm dv=-\mathrm{sn}(w|m)\mathrm{dn}(w|m)\mathrm dw$ y el uso de la fórmula de Pitágoras $\mathrm{sn}^2(w|m)+\mathrm{cn}^2(w|m)=1$ rendimientos

$$-12\int\frac{(1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})\mathrm{cn}(w|m))}{(1+\mathrm{cn}(w|m))^5}\sqrt{2\sqrt{3}-3+(2\sqrt{3}+3)\mathrm{cn}^2(w|m)}\mathrm{sn}^2(w|m)\mathrm{dn}(w|m)\mathrm dw$$

Realizamos una mayor aplicación de la fórmula de Pitágoras, y el factor de salida constante:

$$-24\sqrt[4]{3}\int\frac{(1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})\mathrm{cn}(w|m))}{(1+\mathrm{cn}(w|m))^5}\sqrt{1-\frac{2+\sqrt{3}}{4}\mathrm{sn}^2(w|m)}\mathrm{sn}^2(w|m)\mathrm{dn}(w|m)\mathrm dw$$

De que, si dejamos $m=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}$, entonces podemos explotar la identidad de $\mathrm{dn}^2(w|m)+m\,\mathrm{sn}^2(w|m)=1$:

$$-24\sqrt[4]{3}\int\frac{(1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})\mathrm{cn}(w|m))}{(1+\mathrm{cn}(w|m))^5}\mathrm{sn}^2(w|m)\mathrm{dn}^2(w|m)\;\mathrm dw$$

Podemos expresar todo en términos de $\mathrm{cn}$; el uso de Pitágoras relaciones y la división en fracciones parciales de los rendimientos

$$2\sqrt[4]{3}\left(3(5+3\sqrt{3})w-6(13+8\sqrt{3})\varrho_1+48(3+2\sqrt{3})\varrho_2-96(1+\sqrt{3})\varrho_3+48\sqrt{3}\varrho_4\right)$$

donde por brevedad

$$\varrho_k=\int\frac{\mathrm dw}{(1+\mathrm{cn}(w\mid m))^k}$$

La evaluación de $\varrho_k$ es algebraicamente un lugar complicado; en aras de la brevedad, voy en lugar de referirse a la formulación 341.52-55 en Byrd y Friedman, donde una recursividad relación está en la lista. Los miembros requeridos son:

$$\begin{align*}\varrho_1&=w-\varepsilon\left(w \mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)+\frac{\mathrm{sn}\left(w \mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\mathrm{dn}\left(w \mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)}{1+\mathrm{cn}\left(w \mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)}\\\varrho_2&=\frac13\left((3+\sqrt{3})\varrho_1-\frac12(2+\sqrt{3})w+\frac{\mathrm{sn}\left(w\mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\mathrm{dn}\left(w\mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)}{\left(1+\mathrm{cn}\left(w\mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\right)^2}\right)\\\varrho_3&=\frac15\left(2\left(3+\sqrt{3}\right)\varrho_2-\frac32(2+\sqrt{3})\varrho_1+\frac{2+\sqrt{3}}{4}w+\frac{\mathrm{sn}\left(w\mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right) \mathrm{dn}\left(w\mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)}{\left(1+\mathrm{cn}\left(w\mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\right)^3}\right)\\\varrho_4&=\frac17\left(3\left(3+\sqrt{3}\right)\varrho_3-\frac52\left(2+\sqrt{3}\right)\varrho_2+\frac{2+\sqrt{3}}{2}\varrho_1+\frac{\mathrm{sn}\left(w\mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right) \mathrm{dn}\left(w\mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)}{\left(1+\mathrm{cn}\left(w\mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\right)^4}\right)\end{align*}$$

donde $\varepsilon(w|m)=E(\mathrm{am}(w|m)|m)$ es la Jacobi epsilon función. Después de mucho álgebra y lágrimas, nos encontramos con

$$\begin{split}\frac{\sqrt[4]{3}}{7} \left((3-\sqrt{3})w-6\,\varepsilon\left(w \mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)+\frac{2\,\mathrm{sn}\left(w\mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right) \mathrm{dn}\left(w\mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)}{\left(1+\mathrm{cn}\left(w\mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\right)^4}\left(3\mathrm{cn}^3\left(w\mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)+\right.\right. \\ \left.\left.(21+8\sqrt{3})\mathrm{cn}^2\left(w\mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)+(9-8\sqrt{3})\mathrm{cn}\left(w\mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)+8 \sqrt{3}-9\right)\right)\end{split}$$

Deshaciendo las sustituciones de los rendimientos

$$\begin{split}\frac2{7\sqrt[4]{3}}\left(\frac{2\sqrt[4]{3}\sqrt{1+x^{3/2}}(3+x(1+\sqrt{3}+\sqrt{x}))}{1+\sqrt{3}+\sqrt{x}}-6\sqrt{3} E\left(\arccos\left(\frac{2\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}+\sqrt{x}}-1\right)\mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\right. \\ \left.+3(\sqrt{3}-1)F\left(\arccos\left(\frac{2\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}+\sqrt{x}}-1\right)\mid \frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\right)\end{split}$$

Usted mismo puede comprobar que la derivada de esta expresión es $\sqrt{1+x^\frac32}$.