La confusión acerca de dos definiciones de anomalías

Question

Como actualmente estoy estudiando para un examen sobre la teoría cuántica de campos y la teoría de las cuerdas, me confundí acerca de la noción de "anomalías" y cómo en realidad son definidos. Preguntas similares ya se han preguntado aquí y aquí, pero las preguntas realmente no me satisface.

Así que vamos a suponer que tenemos algunos clásicos de simetría, es decir, una simetría de la acción. Las dos definiciones sigo viendo son:

1. (por lo general en los textos sobre la teoría de cuerdas) Una simetría es anómala si no puede ser representado unitarily en el espacio de Hilbert (para cualquier regularización). Equivalentemente, (?), si no podemos encontrar un pedido de prescripción tales que la simetría de los generadores de obedecer la correcta álgebra después de cuantificación y todavía unitaria y positivo de energía.
   Tenga en cuenta que si la simetría es todavía un rayo de simetría en el espacio de Hilbert (que es siempre el caso?), todavía podemos encontrar una representación proyectiva. Si la representación es realmente proyectiva, hay dos opciones (como se describe por ejemplo en Weinberg: o Sea, si el grupo de simetría no es simplemente conectado, puede que tengamos que utilizar una cubierta de grupo en su lugar. O, si el álgebra no es semisimple, podría ser un elemento central de los cargos que no puede ser hecho de fuga.
   Aquí se parte del supuesto de que la medida invariante y el Barrio de las identidades de espera. En realidad, en la teoría de cuerdas en el Barrio identidades a menudo se utilizan para derivar ciertas OPEs y con ellos derivar el quantum álgebra de Virasoro.

   Ejemplos de esto son:

   • El Witt álgebra en la teoría de cuerdas, la cual se obtiene una central de extensión cuando se cuantifica y se convierte en el álgebra de Virasoro.
   • SO(3) que actúa sobre un no-entero vuelta. ASÍ que(3) no es simplemente conectado y tenemos que considerar las representaciones de la doble cubierta de SU(2).
   • El álgebra de la Galilei grupo que actúa sobre la no-relativista 1-partícula de los estados cuenta con una central de carga en la relación $[K_i, P_j] = -i \delta_{ij} m$.
2. (por lo general en QFT textos) La simetría es anómala si no podemos encontrar un procedimiento de regularización de la ruta integral de medida $\mathcal D \Phi$ tal que $\mathcal D \Phi = \mathcal D \Phi'$.
   Entonces es claro que la sala de Takahashi identidades serán violados: La ecuación de $\left\langle \nabla_\mu j^\mu \right\rangle = 0$ (lejos de inserciones) recoge los nuevos términos en el lado derecho. El álgebra de la simetría de los generadores al parecer no tiene por qué cambiar.
   Un ejemplo de esto es la anomalía de la (global) simetría quiral en QED. Por cierto, aquí sólo tenemos una simetría generador, por lo que no podemos conseguir no trivial de la extensión central del álgebra de todos modos.

De hecho, ahora mismo me parece que los dos son sólo cosas completamente diferentes. En la versión 1 tenemos el invariante de la medida del Barrio y de las identidades, que están ausentes en la versión 2. Por otro lado, en 2 no tenemos central de cargos u otros álgebra modificaciones (en contraposición a la versión 1).

Todavía se siente como debería haber algún tipo de conexión entre los dos. Pero tal vez esto es porque ellos son llamados de la misma. Así que mi pregunta es: Son aquellas nociones relacionadas? Tal vez incluso la misma cosa desde diferentes puntos de vista? (Por ejemplo, me imagino que desde el punto de vista de la canónica de cuantificación, se obtiene la anomalía en el álgebra de operadores, mientras que desde el punto de vista de la ruta integral de cuantificación, se obtiene la anomalía en el PI medida.)

Answer 1

Las dos nociones están de hecho relacionados. Tomemos, por ejemplo, la Weyl anomalía de bosonic la teoría de cuerdas: la clásica (Polyakov) acción $S$ es invariante bajo Weyl rescalings de la worldsheet métrica $\gamma_{ab}$, es decir,$$S[\gamma_{ab}(\tau,\sigma)]=S[\exp(2\omega(\tau,\sigma))\gamma_{ab}(\tau,\sigma)]=S[\gamma'_{ab}(\tau,\sigma)].$$ Since this is a conformal symmetry, the trace of the energy-momentum tensor has to vanish: $ T_a^a=0$. Quantizing the theory without specifying the number of spacetime dimensions will result in an anomaly; Weyl invariance is no longer a symmetry of the quantum string theory. The stress energy tensor will acquire a trace proportional to the Ricci scalar $R$ corresponding to the world sheet geometry, i.e. $T_a^a=-\frac{c}{12}R$, where $c$ is the central charge. The latter is equal to zero only in the case of $D=26$, así que la anomalía no aparece en la denominada dimensión crítica. (Tenga en cuenta que también se desvanece cuando el mundo de la hoja de geometría plana.) La existencia de la central de carga induce un álgebra de Virasoro para los modos de la tensión tensor de energía, lo cual es consistente con lo que escribes.

De los argumentos anteriores pueden ser realizados sin la referencia a la ruta de acceso integral y su medida; este es el punto de vista de la simetría de álgebra. Uno puede, sin embargo, adoptar una diferente y preguntar ¿qué sucede con la ruta integral. Resulta que en virtud de un Weyl transformación, la variación de la medida y el resto de la integral consiste en la inserción de la traza de la energía-impulso del tensor, y sólo va a desaparecer si no hay conformación de la anomalía. Por lo tanto, las dos imágenes son equivalentes.