Cómo evaluar Riemann Zeta función

Question

¿Cómo puedo evaluar esta función para determinado $s$?

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots$$

Answer 1

Suponiendo que estamos hablando de una evaluación numérica, a lo largo de la crítica de la tira de $0<\Re s<1$ y "grandes" $\Im s$, (que es la región de interés para muchos) la de Riemann-Siegel fórmula es la norma; fuera de la franja, lo que puede manejar es un polyalgorithm.

Para $\Re s\leq0$, se puede utilizar la reflexión fórmula para $\zeta$,

$$\zeta(1-s)=\frac{2}{(2\pi)^s}\cos\left(\frac{s\pi}{2}\right)\Gamma(s)\zeta(s)$$

por lo que podemos considerar la evaluación para $\Re s>0$ en lo que sigue.

Tenga en cuenta que si $|s|$ es "suficientemente grande" (¿qué tan grande es "grande" depende de la computación ambiente en el que te encuentras), se puede simplemente usar la definición de la serie ($\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j^s}$), ya que sus términos rápidamente disminuyen en magnitud. Que deja el problema de qué hacer para pequeñas y medianas $s$.

La clave es utilizar el Dirichlet $\eta$ función de:

$$\eta(s):=-\sum_{j=1}^\infty \frac{(-1)^j}{j^s}$$

que está relacionado con $\zeta$ por la siguiente identidad:

$$\eta(s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta(s)$$

La razón de nuestro interés en $\eta$ es que aunque esta suma es poco a poco convergente, es una corriente alterna de la serie, y una serie de algoritmos existen para encontrar rápidamente la suma de una corriente alterna de la serie numérica.

Un método es el de Levin transformación; otra, que es uno de los métodos más simples para numéricamente sumar alterna de la serie (y mi favorito) es el de Cohen-Rodríguez Villegas-Zagier algoritmo. El algoritmo es un poco demasiado largo describir aquí, así que me limitaré a apuntar que el original en papel.

De hecho, esta es idéntica a la del enfoque adoptado por Borwein en este papel.

Answer 2

Usted debe mirar el trabajo de Wadim Zudilin. En particular, usted debe buscar en "Uno de los números ζ(5), z(7), z(9), z(11) es irracional" (Turpion enlace, pdf 91k, gzip ps 80k) en ruso Matemáticas. Encuestas 56:4 (2001), 774--776;