Encontrar todas las funciones de $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Q} $ tal que $f(\frac{x+y}{3})=\frac{f(x)+f(y)}{2}$; $\forall x,y\in\mathbb{Z}$ sabiendo que $\frac{x+y}{3}\in\mathbb{Z}$.
Respuesta
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La función de $f$ es necesariamente constante.
Procedemos por inducción. Tenga en cuenta que $$ f(3k)=\frac{f(3k)+f(3k)}2=f\left(\frac{3k+3k}3\right)=f(2k), $$ y $$ f(k)=f\left(\frac{2k+k}3\right)=\frac{f(2k)+f(k)}2, $$ de donde $f(2k)=f(k)$. En particular, $f(3)=f(2)=f(1)$.
Tenemos $f(1)=f(\frac{0+3}3)=\frac{f(0)+f(3)}2=\frac{f(0)+f(1)}2$, lo $f(0)=f(1)$. Supongamos ahora que $f(0)=f(1)=\cdots=f(k)$. Luego de hacer el paso inductivo: $$ f(k+1)=f\left(\frac{3k+3}3\right)=\frac{f(3k)+f(3)}2=\frac{f(k)+f(1)}2=f(k). $$
Como se ha mencionado por Hagen, de $f(0)=\frac{f(k)+f(-k)}2$ obtenemos $f(-k)=2f(0)-f(k)$; $f(k)=f(0)$ positivos $k$, obtenemos que $f(k)=f(0)$ todos los $k\in \mathbb Z$.
