Deje $\Omega$ ser un almacén de dominio de Lipschitz con límite de $\partial\Omega$.
Hay dos formas de definir un espacio de $H^1(\partial\Omega)$:
Mediante el uso de gráficos, podemos definir a la $H^1(\partial\Omega)$ a contener funciones de $u\colon \partial\Omega \to \mathbb{R}$ tal que $u\circ g_i \in H^1(D_i)$ todos los $i$ donde $g_i\colon D_i \subset \mathbb{R}^{n-1} \to \mathbb{R}$ es un gráfico de mapa. La norma es el obvio norma.
Podemos definir una tangencial gradiente en $\partial\Omega$ como: $$\nabla_S \varphi = \nabla \varphi - (\nabla \varphi \cdot \nu)\nu$$ donde $\nu$ es la unidad vector normal en $\partial\Omega$ $\nabla$ es el habitual de gradiente. Aquí $\varphi$ es suave. Podemos obtener una versión débil de la tangencial de gradiente utilizando la fórmula de integración por partes en la superficie, vamos a llamar a la débil tangencial gradiente $\nabla_T.$ Entonces podemos definir el $H^1(\partial\Omega)$ funciones $u:\partial\Omega \to \mathbb{R}$ tal que $u \in L^2(\partial\Omega)$$\nabla_T u \in L^2(\partial\Omega)$, y darle la obvia norma.
Mi pregunta: ¿son estas definiciones equivalentes de alguna manera? Tenemos la equivalencia de las normas? La segunda definición no es muy común o popular, ¿por qué?
