Cantor establece, en general, por supuesto, tienen muchas propiedades interesantes por su propia cuenta, y también se utiliza a menudo como ejemplos de conjuntos con estas propiedades, pero no ocurren naturalmente en cualquier aplicación?
Respuestas
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Cantor establece aparecen naturalmente en los sistemas dinámicos todo el tiempo.
Ejemplo 1: Considere el mapa de $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = 5x(1-x)$. En la dinámica, estamos interesados en el comportamiento de los puntos de la iteración del mapa de $f$. En otras palabras, si empezamos con un punto de $x_0\in \mathbb{R}$, estamos interesados en la secuencia de $\{f^{\circ n}(x_0)\}_{n \geq 1}$. No es difícil mostrar que si $x_0\noen [0,1]$, entonces $f^{\circ n}(x_0)\- \infty$ como $n\to \infty$. Esto nos da una dicotomía:
- $X_0$ tal que $f^{\circ m}(x_0)\noen [0,1]$ $m\geq 1$, en cuyo caso $f^{\circ n}(x_0)\- \infty$, o
- $x_0$ tal que $f^{\circ n}(x_0)\in [0,1]$ para todo $n\geq 1$, es decir, la órbita de $x_0$ es acotada.
El segundo caso es el más interesante. El conjunto $B$ puntos $x_0$ con delimitada órbitas es exactamente $B = \bigcap_{n\geq 1} f^{-n}([0,1])$, que es un conjunto de Cantor. Por otra parte, la dinámica de $f$ en $B$ es fácil de describir (ver el siguiente ejemplo).
Ejemplo 2: Vamos a $A$ ser un conjunto finito, y dejar $S = A^{\mathbb{N}}$ el conjunto de todas las secuencias infinitas de elementos de $A$. Un elemento $s\in S$ es $s = (s_0,s_1,s_2,\ldots)$ donde $s_i\in A$ por cada $i$. Definir un mapa de $\sigma\colon S\S$ obtenidas por el cambio de la secuencia de una vez en el lugar a la izquierda: $$\sigma(s_0,s_1,s_2,\ldots) = (s_1,s_2,s_3,\ldots).$$ La dinámica de $\sigma$ en $S$ modelos muy interesantes los sistemas dinámicos que aparecen en la práctica, lo cual es muy útil, ya que la dinámica de $\sigma$ es tan fácil de entender. Por otra parte, si equipamos a $A$ con la topología discreta y $S$ con la topología producto, entonces $S$ es un conjunto de Cantor! Como un ejemplo, la dinámica de $f$ en el conjunto $B$ en el ejemplo 1 es isomorfo en un adecuado sentido a la dinámica de la izquierda de cambio de mapa $\sigma$ en el espacio $S = \{0,1\}^\mathbb{N}$ de secuencias binarias.
Ejemplo 3: Deje que $f\colon \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ ser el mapa de $f(z) = z^2 + c$, donde $c$ es un determinado número complejo. Si $c$ se encuentra fuera del Conjunto de Mandelbrot, entonces el Conjunto de Julia de $f$, es decir, el conjunto donde la dinámica de $f$ es la más caótica y muy interesante, es un conjunto de Cantor.
Estos son sólo algunos ejemplos en la dinámica, pero hay muchos más. Yo estaría interesado en ver más ejemplos fuera de la dinámica!
YequalsX
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320
bea
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16
El conjunto de Cantor ha sido observado experimentalmente con difracción de rayos X en relación con el efecto Hall Cuántico,
http://www.eng.yale.edu/reedlab/publications/24.pdf
No sé los motivos detrás de esto, usted probablemente tendrá que leer la literatura para averiguarlo.
Shawn Miller
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3875
Matt Dawdy
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5479
Cantor establece naturalmente aparecen en la lógica. Por ejemplo, si usted tiene countably muchas variables proposicionales $x_1, x_2, ...$, entonces el conjunto de posibles verdad-las asignaciones que se les natural de la topología que se pueden identificar con el producto de la topología en $\{ 0, 1 \}^{\mathbb{N}}$, que es homeomórficos para el conjunto de Cantor. Esta topología es compacto, que es a grandes rasgos la topológico significado detrás de el teorema de compacidad.
