Un límite superior para los números de Fisión Sumativa

Question

Recientemente he encontrado la entrada OEIS A256504 y he estado jugando un poco con esta secuencia. Su definición es:

Para un número entero positivo $n$ hallar el mayor número de enteros positivos consecutivos (al menos 2) que sumen $n$ . Para cada uno de estos hacer lo mismo ... iterar hasta el final. $F(n)$ es entonces el número total de números enteros (incluyendo $n$ sí mismo) definida.

Y he aquí un ejemplo, $F(24) = 13$ :

       24
       /|\
      / | \
     /  |  \
    7   8   9
   / \     /|\
  3   4   / | \
 / \     /  |  \
1   2   2   3   4
           / \
          1   2

Mirando a el gráfico en OEIS estas cifras parecen crecer de forma aproximadamente lineal, pero no estoy seguro de cómo establecer un límite riguroso para ello.

Algunas cosas interesantes que he observado al comprobar los números hasta $n = 6\cdot10^6$ (y algunos alrededor de $10^7$ ):

• Sólo parece haber un número en el que $F(n) > n$ : $F(11) = 12$
• Sólo parece haber cinco números en los que $F(n) = n$ : $1$ , $3$ , $5$ , $6$ , $23$ .

• Parece que la secuencia está creciendo ligeramente sublinealmente.

  En $10^6$ la mayor proporción $F(n)/n$ que puedo encontrar es $0.713924$ para $1110609$ .
  En $2\cdot10^6$ es $0.712693$ para $2097749$ .
  En $5\cdot10^6$ es $0.710524$ para $5570687$ .
  En $10^7$ es $0.709625$ para $10240519$ .

Así que mi pregunta es: ¿se puede establecer de forma rigurosa un límite superior para el crecimiento de la secuencia y hasta qué punto podemos hacerlo estricto? Si la relación máxima $\max_{n>n_0}F(n)/n$ disminuye a medida que $n_0$ crece, ¿se aproxima a una constante finita?

Supongo que podría ser útil tener un límite superior en A109814 .

Answer 1

Esta es una buena pregunta. El diagrama de fisión forma un árbol, y las hojas del árbol deben sumar $n$ . Al observar que $3$ es el número más pequeño que se puede dividir, vemos que puede haber como máximo $n/3$ y, por tanto, hay como máximo $\frac{2}{3}n$ hojas. Cada vértice que no sea el punto base o una hoja debe tener un grado de al menos $3$ es decir, cada nodo que no es una hoja debe dividirse en al menos dos nodos más, por lo que podemos acotar el número total de nodos mediante $$F(n)\leq \frac{2n}{3}+\frac{2n}{6}+\frac{2n}{12}+\frac{2n}{24}+\cdots =\frac{4n}{3}$$ que da un límite superior lineal al número de nodos.