Rabinowitz prueba (mediante el Paso de Montaña Teorema) que para un almacén de suave dominio de $\Omega \in \mathbb{R}^n$, e $f(x,\xi)\in C(\bar{\Omega}\times \mathbb{R},\mathbb{R})$ satisyfing la condición de crecimiento $$f(x,\xi) \leq A + B|\xi|^s,\ \ \text{where}\ \ s+1<\frac{2n}{n-2}$$ entonces no es una solución débil $u \in H_0^1(\Omega)$ a el problema $$ -\Delta u = f(x,u), \ x\in \Omega$$ $$ u = 0, \ \ x \in \partial \Omega$$ A continuación, hace la observación de que si además de la $f$ es localmente Lipschitz, la solución es clásica. La prueba es hecha por la referencia a un papel por Agman, aquí. Por desgracia, esto fue antes de $\LaTeX$, por lo que es bastante difícil de leer, como en lo que realmente duele mis ojos. Así que, pensé que iba a tratar de utilizar algunos de los argumentos presentados en Gilbarg-Trudinger para resolver un caso particular que ocurrió en Evans presentación para el paso de montaña teorema. Deje $f = |u|^{s-1}u$ donde $s$ como es arriba. Aquí, tal vez necesitamos este papel, tal vez no.
Mi argumento es el siguiente : Desde $u \in H_0^1$, por el Sobolev la incrustación de teorema, tenemos $u \in L^{2^{*}} = L^{\frac{2n}{n-2}}$, y por lo $f \in L^{\frac{2^{*}}{s}}$. Con el global $L^p$ estimaciones (GT thm 9.13) $u \in W^{2,\frac{2^{*}}{s}}$. Ahora uso el Sobloev teorema de nuevo para obtener una mejor estimación de $u$. Continúe este proceso un número finito de veces hasta que llegamos a el valor crítico para el teorema de Sobolev, en cuyo caso obtenemos $u \in C^{0,\alpha_1}$ algunos $\alpha_1$ (y por lo tanto $f \in C^{0,\alpha_2}$ algunos $\alpha_2$). Ahora uso la de Dirichlet teoría de la elíptica operadores (GT 6.11) a la conclusión de que la solución es $C^{2,\alpha_2}$, por la singularidad.
Problemas :
Sé que este argumento no puede ser correcta por al menos dos razones :
- La teoría para el problema de Dirichlet dice que la solución es única, y se puede demostrar que hay al menos 2 soluciones si $f$ es localmente Lipschitz continua (Rabinowitz : Minimax Métodos p 11)
- El $L^p$ teoría que se emplea en la "prueba" de arriba requiere sabemos apriori que $u$ es una solución fuerte, ie $u\in W^{2,p}$. La normal regularidad resultado que iba a utilizar para conseguir esto, GT-teorema 8.12, se requiere que los $f \in L^2$. Nuestra $f$ parece estar siempre en $L^r$, $r<2$.
Cualquier ayuda que podría aportar se agradece!
Edit : he encontrado el resultado en un libro "Análisis Cualitativo de Elípticas no Lineales de Ecuaciones Diferenciales Parciales", pero sigo teniendo problemas para la comprensión de la prueba. Al menos tiene algunas de las ideas que tenía. Para mayor comodidad, el argumento del libro es la siguiente, tomando nota de que el uso de letras diferentes para los exponentes (que considerar el problema de $-\Delta u = u^p$)
Sabemos hasta ahora que $u\in H_0^1(\Omega)\subset L^{2^{*}}(\Omega)$.En un marco general, suponiendo que $u \in L^q$, se deduce que el $u^p \in L^{\frac{q}{p}}$, que es, por Schauder regularidad y Sobolev incrustaciones, $u \in W^{2,\frac{q}{p}} \subset L^s$ donde $\frac{1}{s} = \frac{p}{q} − \frac{2}{N}$. Así que, asumiendo que $q_1 > \frac{(p−1)N}{2}$, $u \in L^{q_2}$ donde $\frac{1}{q_2} = \frac{p}{q_1} − \frac{2}{N}$. En particular, $q_2 > q_1$. Deje $(q_n)$ ser el aumento de la secuencia podemos construir de esta manera y establecer $q_{\infty} = \lim_{n\rightarrow \infty}{q_n}$. Suponiendo, por contradicción, que $q_n < \frac{Np}{2}$, obtenemos, pasando al límite de $n \rightarrow \infty$,$q_{\infty} = \frac{N(p − 1)}{2} < q_1$, contradicción. Esto demuestra que no existe $r > \frac{N}{2}$ tal que $u \in L^r(\Omega)$, lo que implica $u \in W^{2,r}(\Omega) \subset L^{\infty}(\Omega)$. Por lo tanto, $u \in W^{2,r}(\Omega) \subset C^k(\Omega)$ donde $k$ denota la parte entera de la $2 − \frac{N}{r}$. Ahora, por el Titular de la continuidad, $u \in C^2(\Omega)$.
Todavía no entiendo cómo llegamos $u \in W^{2,\frac{q}{p}}$. También, la última declaración del Titular de la continuidad, $u \in C^2(\Omega)$. ¿Por qué es esto?
