¿Existe un ejemplo fácil de un espacio vectorial que no pueda ser dotado de la estructura de un espacio de Banach

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial real.

¿Siempre hay una norma sobre $V$ tal que $V$ es completa con respecto a esta norma?

Si no es así, ¿hay algún contraejemplo fácil?

Answer 1

No. Supongamos que $V$ es un espacio normado de dimensión (Hamel) $\aleph_0$ con base $\{v_1, v_2, v_3, \ldots \}$ decir. Entonces $V$ es la unión de una familia contable de subespacios de dimensión finita, a saber $\langle v_1 \rangle, \langle v_1, v_2 \rangle, \langle v_1, v_2, v_3 \rangle, \ldots$ . Los subespacios cerrados adecuados de un espacio normado no son densos en ninguna parte, por lo que $V$ es una unión contable de conjuntos no densos en ninguna parte, por lo que es incompleta por el teorema de la categoría Baire.

Answer 2

$\mathbb{R}^\mathbb{N}$ en la topología del producto es un ejemplo. Es un espacio vectorial topológico completamente metrizable, pero no puede haber ninguna norma compatible porque todas las vecindades de 0 no están acotadas.

Answer 3

Dejemos que $\kappa$ sea un cardinal infinito.
Si $B$ es un espacio de Banach tal que el menor tamaño de un subconjunto denso de $B$ es $\kappa$ entonces $B$ es de tamaño $\kappa^{\aleph_0}$ . Así que los únicos tamaños posibles de los espacios de Banach son potencias con el exponente $\aleph_0$ .

Como se ha señalado anteriormente, todo espacio de Banach de dimensión infinita tiene dimensión (Hamel) al menos $2^{\aleph_0}$ . Si un espacio de Banach tiene tamaño $>2^{\aleph_0}$ entonces su tamaño es realmente igual a la dimensión. Se deduce que un cardinal infinito sólo puede ser la dimensión de un espacio de Banach si es de la forma $\kappa^{\aleph_0}$ . Pero hay muchos cardenales que no son de esa forma y por cada cardenal $\kappa$ existe un espacio vectorial de dimensión $\kappa$ .

El primer cardinal infinito no de la forma $\kappa^{\aleph_0}$ es $\aleph_0$ , como se ha señalado anteriormente. El siguiente cardinal es $\aleph_1$ que es de la forma $\kappa^{\aleph_0}$ si se cumple la hipótesis del continuo. Los únicos cardenales para los que podemos decir con seguridad que no son de la forma $\kappa^{\aleph_0}$ son supremos de cadenas crecientes de cardinales de longitud contable, como $\aleph_\omega$ El sup de la $\aleph_n$ .

Por otra parte, dos espacios vectoriales cualesquiera son isomorfos si tienen la misma dimensión. Además, hay espacios vectoriales de todas las dimensiones. Por lo tanto, la cuestión de si un espacio vectorial tiene una norma que lo convierte en un espacio de Banach sólo pregunta qué cardinales son dimensiones de los espacios de Banach.

Por cada cardenal $\kappa$ , $\ell^2(\kappa)$ es un espacio de Banach (¡incluso de Hilbert!) de densidad $\kappa$ y dimensión $\kappa^{\aleph_0}$ . Se deduce que un espacio vectorial de dimensión infinita es isomorfo a un espacio de Banach si y sólo si su dimensión es de la forma $\kappa^{\aleph_0}$ para algunos $\kappa$ . (En realidad, $(\kappa^{\aleph_0})^{\aleph_0}=\kappa^{\aleph_0}$ Así que $\lambda$ es de la forma $\kappa^{\aleph_0}$ si $\lambda^{\aleph_0}=\lambda$ .)