La respuesta corta es que los dos valor principal Las definiciones están de acuerdo con las funciones que se comportan suficientemente bien, pero pueden no estar de acuerdo con las funciones suficientemente singulares. Por ejemplo, por un lado $$\lim_{\epsilon\searrow 0} \int_{\mathbb{R}\backslash[-\epsilon,\epsilon]} \frac{\mathrm{d}x}{x^3}~=~0$$
es cero, mientras que por otro lado
$$\lim_{\epsilon\searrow 0} \int_{\mathbb{R}} \frac{\mathrm{d}x}{x(x^2+\epsilon^2)}$$
no está bien definido, ya que el integrando no es integrable en $x=0$ .
I) Aquí queremos profundizar en la definición de valor principal $P\int\! \mathrm{d} x$ .
Definición. Dejemos que $\chi=(\chi_{\epsilon})_{\epsilon>0}$ sea una familia de funciones $\chi_{\epsilon}:\mathbb{R}\to [0,1]\subseteq \mathbb{R}$ que son:
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incluso las funciones $\chi_{\epsilon}(x)~=~\chi_{\epsilon}(-x),$
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Medible de Lebesgue funciones,
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$\chi_{\epsilon}(x)\nearrow 1$ punto de vista casi en todas partes para $\epsilon \searrow 0$ .
Refirámonos a dicha función $\chi_{\epsilon}$ como kernel función.
Ejemplos de funciones del núcleo $\chi_{\epsilon}$ son, por ejemplo:
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el función característica $$\chi_{\epsilon}(x) ~=~\chi^{\rm std}_{\epsilon}(x) ~:=~ 1_{\mathbb{R}\backslash[-\epsilon,\epsilon]}(x)$$ para el conjunto $\mathbb{R}\backslash[-\epsilon,\epsilon]$ . (Esta elección $\chi^{\rm std}$ llevará a la definición estándar del valor principal).
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la función continua $$\chi_{\epsilon}(x) ~=~ \chi^{a,b}_{\epsilon}(x) ~:=~ \frac{|x|^a}{|x|^a+ \epsilon^b},$$ donde $a,b>0$ son dos constantes positivas. (La elección $\chi^{2,2}$ llevará a la otra definición de valor principal mencionada por OP).
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la función unitaria constante $\chi_{\epsilon}(x) ~=~ 1$ . (Como es lógico, esta última opción resultará no ser tan útil).
II)
Definición. Definir el conjunto $V(\chi)$ de $\chi$ - admisible funciona como $$V(\chi)~:=~\left\{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{C} ~\left|~ \begin{array}{c} f~\text{is Lebesgue measurable},\cr \forall \epsilon>0~:~~ \chi_{\epsilon} f~\in~ {\cal L}^1(\mathbb{R}), \cr \text{and} \cr \left(\int\! \mathrm{d}x~ \chi_{\epsilon}(x) f(x)\right)_{\epsilon>0} \text{is convergent for}~ \epsilon\searrow 0 \end{array}\right.\right\}. $$
Definición. Si una función $f\in V(\chi)$ est $\chi$ -admisible, definimos el $\chi$ - valor principal basado en como $$P(\chi)\int\! \mathrm{d} x f(x)~:=~\lim_{\epsilon\searrow 0} \int\! \mathrm{d}x~ \chi_{\epsilon}(x) f(x).$$
Aquí ${\cal L}^1(\mathbb{R})$ denota el conjunto de funciones que son Integrable de Lebesgue es decir, funciones que son medibles por Lebesgue y cuyo valor absoluto tiene una integral finita. ${\cal L}^1(\mathbb{R})$ es un ejemplo de ${\cal L}^p$ espacio .
III) No es difícil verlo:
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Si $f\in{\cal L}^1(\mathbb{R})$ es integrable en Lebesgue, entonces es $\chi$ -admisible $f\in V(\chi)$ y el valor principal $$P(\chi)\int\! \mathrm{d} x ~f(x)~=~ \int\! \mathrm{d} x ~f(x)$$ es sólo la integral de Lebesgue ordinaria debido a la Teorema de convergencia dominado por Lebesgue .
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El conjunto $V(\chi)$ de $\chi$ -funciones admisibles es un $\mathbb{C}$ -espacio vectorial.
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Si una función $f\in V(\chi)$ est $\chi$ -admisible, también lo es la función espejo $(x\mapsto f(-x))\in V(\chi)$ con el mismo valor principal.
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Si un $\chi$ -función admisible $f\in V(\chi)$ es impar, entonces $P(\chi)\int\! \mathrm{d} x~f(x) ~=~ 0$ .
Así, basta con investigar las funciones pares e Impares.
Por último, investiguemos las funciones de potencia $x\mapsto x^p$ , $p\in\mathbb{R}$ que desempeñan un papel importante en la práctica como bloques de construcción.
IV) Incluso las funciones. Dejemos que
$$g_{p,K}(x) ~:=~ 1_{[-K,K]}(x) |x|^p~=~g_{p,K}(-x)$$
sea una función de potencia truncada, donde $p\in\mathbb{R}$ es una potencia real, y donde $K>0$ es una constante de truncamiento positiva.
No es difícil demostrarlo en el caso de los ejemplos 1, 2 o 3,
$$g_{p,K}\in V(\chi) \qquad \Leftrightarrow \qquad p>-1\qquad \Leftrightarrow \qquad g_{p,K}\in {\cal L}^1(\mathbb{R}).$$
En el caso afirmativo $p>-1$ En este caso, las definiciones del valor principal basadas en los tres ejemplos 1, 2 y 3 coinciden:
$$P(\chi)\int\! \mathrm{d} x ~g_{p,K}~=~\int\! \mathrm{d} x ~g_{p,K}~=~ \frac{2K^{p+1}}{p+1}.$$
V) Funciones de impar. Dejemos que
$$h_{p,K}(x) ~:=~ {\rm sgn}(x) 1_{[-K,K]}(x) |x|^p~=~-h_{p,K}(-x)$$
sea una función de potencia truncada, donde $p\in\mathbb{R}$ es una potencia real, y donde $K>0$ es una constante de truncamiento positiva. En los tres ejemplos 1, 2 y 3, obtenemos
- $h_{p,K}\in V(\chi^{\rm std})$ siempre,
- $h_{p,K}\in V(\chi^{a,b}) \qquad \Leftrightarrow \qquad p+a>-1$ ,
- $h_{p,K}\in V(1) \qquad \Leftrightarrow \qquad p>-1\qquad \Leftrightarrow \qquad h_{p,K}\in {\cal L}^1(\mathbb{R}).$
