Demostrar que, si $A, B$ son matrices a partir de las $M_4(R)$, de modo que $AB=BA$

Question

Demostrar que, si $A, B$ son matrices a partir de las $M_4(\Bbb R)$, de modo que $AB=BA$$\det(A^2 −AB + B^2) = 0$, entonces: $$ \det(a + B) + 3\det(a − B) = 6 (\det(A) + \det(B)) \tag 1 $$

Lo que he intentado:

Porque de $AB=BA$ podemos usar, digamos, el binomio de Newton de expansión para$A$$B$, pero no me lleve a la solución.

También es fácil demostrar que los $\det (A^3 + B^3) = 0$.

Answer 1

Deje $\omega$ ser un tercio de la raíz de la unidad. Desde $A$ $B$ viaje, la condición de que $\det(A^2-AB+B^2)=0$ se convierte en $$\det(A+\omega B)\det(A+\omega^2 B)=0$$ y por lo que sea a $\det(A+\omega B)=0$ o $\det(A+\omega^2 B)=0$.

Ahora considere la función $p(x)=\det(A+xB)$. Este es un polinomio de grado en la mayoría de las $4$ con coeficientes reales, y a partir de lo anterior, podemos ver que, o bien $\omega$ o $\omega^2$ es una raíz de $p$. Desde $p$ tiene coeficientes reales, entonces vemos que, de hecho, ambos $\omega$ $\omega^2$ son raíces de $p$, $x^2+x+1$ es un factor de $p$.

Deje $p(x)=(x^2+x+1)q(x)$ donde $q$ es un polinomio de grado en la mayoría de las $2$, y deje $q(x)=ax^2+bx+c$ donde $a,b$ $c$ son algunos de los números reales.

Ahora consideremos el polinomio $r(x)=\det(xA+B)$.

Para cualquier $x\neq 0$, tenemos que

$$r(x)=\det\left(xA+B\right)=\det\left(x\left(A + \frac{1}{x}B\right)\right) = x^4\det\left(A + \frac{1}{x}B\right) = x^4p\left(\frac{1}{x}\right)$$

Entonces tenemos que $$r(x)=x^4\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+1\right)\left(\frac{a}{x^2}+\frac{b}{x}+c\right)=(x^2+x+1)(a+bx+cx^2)$$ para cualquier $x\neq 0$. El lado izquierdo y derecho de esta expresión son polinomios que estar de acuerdo en todos los puntos excepto posiblemente $x=0$, y para ellos debe ser igual para todos los verdaderos $x$, incluyendo a $x=0$. Vemos que

$$\det(B)=r(0)=a$$

Ahora observamos que

$$\det(A+B)+3\det(A-B)=p(1)+3p(-1)=3q(1)+3q(-1)$$

que es igual a

$$6(a+c) = 6(\det(B)+q(0))=6(\det(B)+p(0))=6(\det(B)+\det(A))$$

como se requiere.