Deje $\omega$ ser un tercio de la raíz de la unidad. Desde $A$ $B$ viaje, la condición de que $\det(A^2-AB+B^2)=0$ se convierte en
$$\det(A+\omega B)\det(A+\omega^2 B)=0$$
y por lo que sea a $\det(A+\omega B)=0$ o $\det(A+\omega^2 B)=0$.
Ahora considere la función $p(x)=\det(A+xB)$. Este es un polinomio de grado en la mayoría de las $4$ con coeficientes reales, y a partir de lo anterior, podemos ver que, o bien $\omega$ o $\omega^2$ es una raíz de $p$. Desde $p$ tiene coeficientes reales, entonces vemos que, de hecho, ambos $\omega$ $\omega^2$ son raíces de $p$, $x^2+x+1$ es un factor de $p$.
Deje $p(x)=(x^2+x+1)q(x)$ donde $q$ es un polinomio de grado en la mayoría de las $2$, y deje $q(x)=ax^2+bx+c$ donde $a,b$ $c$ son algunos de los números reales.
Ahora consideremos el polinomio $r(x)=\det(xA+B)$.
Para cualquier $x\neq 0$, tenemos que
$$r(x)=\det\left(xA+B\right)=\det\left(x\left(A + \frac{1}{x}B\right)\right) = x^4\det\left(A + \frac{1}{x}B\right) = x^4p\left(\frac{1}{x}\right)$$
Entonces tenemos que
$$r(x)=x^4\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+1\right)\left(\frac{a}{x^2}+\frac{b}{x}+c\right)=(x^2+x+1)(a+bx+cx^2)$$
para cualquier $x\neq 0$. El lado izquierdo y derecho de esta expresión son polinomios que estar de acuerdo en todos los puntos excepto posiblemente $x=0$, y para ellos debe ser igual para todos los verdaderos $x$, incluyendo a $x=0$. Vemos que
$$\det(B)=r(0)=a$$
Ahora observamos que
$$\det(A+B)+3\det(A-B)=p(1)+3p(-1)=3q(1)+3q(-1)$$
que es igual a
$$6(a+c) = 6(\det(B)+q(0))=6(\det(B)+p(0))=6(\det(B)+\det(A))$$
como se requiere.