Homotopy tipo de un espacio

Question

Me preguntaba ¿qué herramientas de topología algebraica se utilizan generalmente para mostrar que algunas cosas tienen el mismo homotopy tipo? Hatcher no hablar de esto en su libro, aunque él se define el concepto en la página 3. Por supuesto, podemos calcular la homología o homotopy grupos de un espacio, sino simplemente demostrar que están de acuerdo no es suficiente por lo que yo sé.

Por ejemplo, saber que la conjetura de Poincaré es cierto, sabemos que cada cerrado simplemente conectado 3-colector es la 3-esfera. De ello se sigue que deben tener el mismo homotopy tipo. Es esto más fácil de probar que la de Poincaré de la misma? Si es así, cómo? La razón por la que elegí este ejemplo es que sé que son homotopy equivalente y no sé, una evidente correspondencia entre los espacios.

EDIT: Dylan dio realmente lo que se necesita para terminar una prueba. El mapa dada por el generador de $\pi_3$ pueden ser fácilmente controlados para inducir isomorphisms en todos los grupos de homología. Ahora reemplace el $3$-colector $M$ $2$- conectado CW-modelo de $Z$ por CW-aproximación. Functoriality de CW-modelos induce a continuación, un mapa de $f:S^3\to Z$, lo que induce isomorphisms en la homología. El argumento estándar que reemplaza $Z$ por la asignación de cilindro de $f$ y, a continuación, se aplica Hurewicz en $H_n(M_f,S^3)$ muestra que $\pi_n(M_f,S^3)=0$ todos los $n$ lo que implica que $M_f$ deformación se retrae en $S^3$ y son homotopy equivalente. Esto le da la siguiente cadena de equivalencias homotopy

$$S^3\simeq M_f\simeq Z\simeq M$$

por lo que se deduce que el $M$ $S^3$ tiene el mismo homotopy tipo.

Answer 1

Estoy de acuerdo con el punto de la pregunta que uno desea saber cómo construir homotopy equivalencias.

Una herramienta básica para esto es un encolado teorema de homotopy equivalencias que me han anunciado en este stackexchange respuesta. Da las condiciones para un pushout de homotopy equivalencias de un homotopy de equivalencia.

La prueba no utiliza las nociones de homotopy grupos, pero el resultado se encuentra comenzando con el hecho bien conocido de que un homotopy equivalencia $f: Y \to Z$ de los espacios induce un isomorfismo de homotopy grupos y, a continuación, la generalización de la sustitución de $(S^n,x)$ por un par de $(X,A)$ con el Homotopy Extensión de la Propiedad. El teorema apareció por primera vez en la edición de 1968 de el libro titulado ahora "Topología y Groupoids" . Su origen se encuentra también en casos especiales, debido a J. H. C. Whitehead. También hay un doble "cogluing teorema", para fibrations pullbacks, en lugar de cofibrations y pushouts. El resultado también se ha establecido en diversas categorías de modelo, pero una de las ventajas de la prueba original es que se da el control de la homotopies involucrados.

Answer 2

Generalmente es difícil mostrar que dos espacios son homotopy equivalente. Algunos de los mejores espacios son CW complejos, donde el teorema de Whitehead sostiene.

En este caso, sólo se necesita que haya un mapa en el que se induce un isomorfismo en todos los homotopy grupos con el fin de tener un homotopy de equivalencia. Como se ha mencionado en los comentarios, usted todavía necesita un mapa que da cuenta de esto. No es a menudo el caso de que el hecho de saber el tipo de isomorfismo de algunos (fácilmente computable) invariante le da la homotopy tipo de espacio.

A veces tenemos suerte y tenemos una muy buena invariantes, por ejemplo,

$$\{ \chi \text{ and orientability} \} \leftrightarrow \{ \text{homotopy types of closed surfaces} \}$$ pero esto es muy raro.

Una buena situación en la que es tal vez vale la pena mencionar es para racional de los espacios. Estos espacios tienen un "super teorema de Whitehead":

Teorema. Supongamos que $X, Y$ son nilpotent espacios con homotopy grupos que son finito dimensionales racional de los espacios vectoriales. A continuación, los siguientes son equivalentes para un mapa de $f: X \rightarrow Y$:

1. $f$ es un homotopy de equivalencia;
2. $f_*: H_* (X, \mathbb{Q}) \rightarrow H_*(Y, \mathbb{Q})$ es un isomorfismo;
3. $f_*: \pi_* (X) \rightarrow \pi_* (Y)$ es un isomorfismo.

Así, vemos que, de hecho, todo lo que uno necesita es una homología de isomorfismo con el fin de detectar que un mapa es un homotopy equivalencia, a condición de que los espacios son racionales. Por supuesto, usted todavía necesita que este isomorfismo es realizado por un auténtico mapa, como resumen isomorfismo voluntad no basta para tener homotopy de equivalencia.