Demostrar que $\sum_{n=1}^\infty \mu(n) \log n/n =1$.

Question

Uno puede mostrar que el Primer Número Teorema es equivalente a la declaración $$ A(x):= \sum_{n \leq x} \frac{\mu(n)}{n}=o(1),\qquad \qquad (1)$$ es decir, que $A(x) \to 0$$x \to \infty$. Dado que la identidad $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s} = \frac{1}{\zeta(s)} \qquad\qquad \qquad (2)$$ sostiene (primaria) por $\Re s >1$, de la línea (1) parece codificar nada más que el hecho de que $\zeta(s)$ es no-fuga en la línea crítica $\Re s=1$ (equivalente a la PNT). Por analogía, yo esperaría que $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)\log n}{n^s} = \frac{d}{ds} \frac{1}{\zeta(s)}=\frac{-\zeta'(s)}{\zeta(s)^2} \qquad \qquad (3)$$ para celebrar no solo para $\Re s >1$, pero para $\Re s =1$ (una vez más, usando nada más que el PNT). Si es así, entonces $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n) \log n}{n}=1 \qquad \qquad \quad(4)$$ usando (3) ignorando la singularidad removible en $s=1$. Cómo puedo hacer una copia de seguridad de esta intuición?

Sé que (4) tiene bajo la Hipótesis de Riemann, pero yo creo (y en consecuencia, como para mostrar) que el PNT por sí solo debería ser suficiente.

Answer 1

Hay un bonito y corto primaria de la solución

Por la identidad de $$\left(\frac{1}{\zeta(s)}\right)^{'}=-\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}\frac{1}{\zeta(s)},$$ tenemos que

$$-\sum_{n\leq x}\frac{\mu(n)\log n}{n}=\sum_{n\leq x}\frac{1}{n}\sum_{d|n}\mu(d)\Lambda\left(\frac{n}{d}\right).$$ This sum equals $$\sum_{dk\leq x}\frac{\mu(d)\Lambda\left(k\right)}{dk} =\sum_{dk\leq x}\frac{\mu(d)\left(\Lambda\left(k\right)-1\right)}{dk} +\sum_{dk\leq x}\frac{\mu(d)}{dk}.$$ The right most sum is easily seen to equal $1$, as $$\sum_{dk\leq x}\frac{\mu(d)}{dk}=\sum_{n\leq x}\frac{1}{n}\sum_{d|n} \mu(d)=1,$$ so we need only show that the other term is $o(1)$. By the hyperbola method $$\sum_{dk\leq x}\frac{\mu(d)\left(\Lambda\left(k\right)-1\right)}{dk}=\sum_{d\leq\sqrt{x}}\frac{\mu(d)}{d}\sum_{k\leq\frac{x}{d}}\frac{\left(\Lambda\left(k\right)-1\right)}{k}+\sum_{k\leq\sqrt{x}}\frac{\left(\Lambda\left(k\right)-1\right)}{k}\sum_{\sqrt{x}<d\leq\frac{x}{k}}\frac{\mu(d)}{d}.$$ Since $$\sum_{k\leq y}\frac{\left(\Lambda\left(k\right)-1\right)}{k}=o\left(\frac{1}{\log y}\right)\text{ and }\sum_{d\leq y}\frac{\mu(d)}{d}=o\left(\frac{1}{\log y}\right)$$ by the prime number theorem, the above is $$\ll o\left(\frac{1}{\log x}\right)\left(\sum_{d\leq\sqrt{x}}\frac{1}{d}\right)\ll o\left(1\right),$$ and so we see that $$-\sum_{n\leq x}\frac{\mu(n)\log n}{n}=1+o(1).$$

Answer 2

Un enfoque es el uso de la Escalinata de la fórmula. En este caso, tenemos que para $x\notin \mathbb{N}$

$$\sum_{n\leq x}\frac{\mu(n)}{n}\log n=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{-\zeta^{'}(s+1)}{\zeta(s+1)^{2}}\frac{x^{s}}{s}ds.$$

El residuo de $\frac{-\zeta^{'}(s+1)}{\zeta(s+1)^{2}}\frac{x^{s}}{s}$$s=0$$1$, lo que lleva a la respuesta esperada. (Estoy omitiendo la mayoría de los trabajos que se delimitador el integrando sobre los otros contornos, y mover las cosas hacia el cero región libre.)