Cada ideal de un cuerpo de números algebraico puede ser principal en un campo de extensión finito adecuado.

Question

Sea $K$ un campo de números algebraicos. Sea $I$ un ideal no nulo del anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ en $K$. Según la teoría de cuerpos de clases, existe una extensión finita (el campo de clases de Hilbert) $L$ de $K$ tal que $I\mathcal{O}_L$ es principal. ¿Podemos demostrar esto sin usar la teoría de cuerpos de clases?

Answer 1

Bien, no sé si estarás satisfecho con esto. Pero aquí hay una forma:

Sea $I$ un ideal fraccional. Entonces, por la finitud del grupo de clases de ideales, existe un $m \in \mathbb{N}$ tal que $I^m = (\alpha)$ para algún $\alpha \in K^*$. Sea $L = K(a^{1/m})$. Afirmo que $I\mathcal{O}_L$ es principal. De hecho, afirmo que $I\mathcal{O}_L = (\alpha^{1/m}).

Bien, $(I\mathcal{O}_L)^m = I^m\mathcal{O}_L = (\alpha)\mathcal{O}_L = (\alpha)$. Claramente, $(\alpha^{1/m})^m = (\alpha)$. Ahora es fácil ver que si $I, J$ son ideales fraccionarios tales que $I^m = J^m$, entonces $I = J. Por lo tanto, $I\mathcal{O}_L = (\alpha^{1/m})$.

Answer 2

Aquí hay una bonita generalización del resultado que solicitas. Afirmamos que existe una extensión finita de $K$ tal que cada ideal de $\mathcal{O}_K$ es principal en $\mathcal{O}_L$.

Prueba: Supongamos que $|Cl_K| = n$ y escribimos $[I_1],\ldots,[I_n]$ para los elementos de $Cl_K$. Para cada $1 \leq k \leq n$ elegimos un representante $J_k \in [I_k]$. Además, para cada $k$ existe un entero $m_k$ y un elemento $\alpha_k \in \mathcal{O}_K$ tal que $J_k^{m_k} = (\alpha_k)$. Según la respuesta anterior de Rankeya, los ideales $J_1,\ldots,J_k$ se vuelven todos principales en el anillo de enteros de $$L = K(\sqrt[m_1]{\alpha_1},\ldots, \sqrt[m_n]{\alpha_n}).$$

Ahora solo queda probar por qué para cualquier ideal $I\subset\mathcal{O}_K$ con $I \simeq J_1$, por ejemplo, $I$ también se vuelve principal en $\mathcal{O}_L$. Si $I \simeq J_1$, entonces existen $x,y \in \mathcal{O}_K$ tal que $xI = yJ_1$. Entonces \begin{eqnarray*} x^{m_1}I^{m_1} &=& y^{m_1}J_1^{m_1}\\ &=& (y^{m_1}\alpha_1) \end{eqnarray*}

y así $xI\mathcal{O}_L = y\sqrt[m_1]{\alpha_1}\mathcal{O}_L$. Ahora hay un $z \in I\mathcal{O}_L$ tal que $xz = y\sqrt[m_1]{\alpha_1}$. Afirmamos que $I= (z)$. Claramente $(z) \subseteq I\mathcal{O}_L$. Para la inclusión inversa, tomamos cualquier $w \in I$. Entonces $xw = y\sqrt[m_1]{\alpha_1}v = xzv$ para algún $v \in \mathcal{O}_L$. Dado que $\mathcal{O}_L$ es un dominio, esto implica que $zv = w$ y así $I \subseteq (z)$. Por lo tanto, $I$ es principal en $\mathcal{O}_L$, lo cual completa el problema.