Orden de los ceros de la función zeta de Riemann

Question

¿Es cierto que todos los ceros de la función zeta de Riemann son de orden 1?

Dejemos que $h(z) = \frac{\zeta'(z)}{\zeta(z)}\frac{x^z}{z}$ , donde $x$ es un número real positivo ( $x > 1$ probablemente), y $\zeta$ es la función zeta de Riemann. Estoy calculando los residuos de $h$ .

El único lugar en el que estoy teniendo problemas para computar el residuo de $h$ están en los ceros de $\zeta$ . Sólo necesito saber el orden de los ceros de $\zeta$ . Parece que para los ceros triviales (los enteros pares negativos) los órdenes son 1.

Pero no sé qué hacer con los ceros no triviales. Probablemente estoy confundido en algo. Cuando miro en la derivación de la fórmula de von Mangoldt se muestra aquí , enumera los residuos de $h$ y a partir de su cálculo, parece que los órdenes del cero en los ceros no triviales son también 1.

Tenía la impresión de que el orden de los ceros de $\zeta$ no se conocían todos.

¿Qué me falta?

EDIT: He encontrado este . En la página 2, dice que si $\rho$ es un cero de $\zeta$ contribuye $\frac{x^\rho}{\rho}$ al residuo de $h$ , contados con multiplicidad. (Me falta un signo negativo por la forma en que definí $h$ ). ¿Existe una forma especial de calcular el residuo sin conocer el orden de $\rho$ ?

Answer 1

El enlace de Google Books no me funciona; aquí es uno que lo hace.

Creo que no hay nada misterioso aquí, y ninguna suposición sobre las multiplicidades de los ceros de $\zeta$ se está haciendo. La suma se escribe como una suma sobre los ceros, pero está implícito que éstos contribuyen según su multiplicidad. El residuo no se calcula de ninguna manera especial (a menos que cuentes la formación del residuo de la derivada logarítmica como una manera especial); el residuo de $\zeta'/\zeta$ es la multiplicidad, y ésta se multiplica por $x^\rho/\rho$ .

Answer 2

Quizá le interese este reciente artículo de arXiv: Sobre los ceros simples de la función zeta de Riemann

Demostramos que al menos 19/27 de los ceros de la función zeta de Riemann son simples asumiendo la Hipótesis de Riemann (HR). Esto fue establecido previamente por Conrey, Ghosh y Gonek [Proc. London Math. Soc. 76 (1998), 497--522] bajo el supuesto adicional de la Hipótesis de Lindelöf Generalizada (GLH). Podemos eliminar esta hipótesis mediante el uso cuidadoso de la identidad generalizada de Vaughan.