Integral con $\sqrt{2x^4 - 2x^2 + 1}$ en el denominador

Question

$$\int\frac{x^{2}-1}{x^{3}\sqrt{2x^{4}-2x^{2}+1}} \: \text{d}x$$

Traté de sustituir $x^2=t$, pero soy incapaz de solucionarlo y también traté de dividir el numerador y el denominador por $x^2$ y hacer algo, pero no pudo conseguir nada.

Answer 1

El factor de $(2x^4 - 2x^2 + 1)^{-1/2}$ sugiere que podría ser rentable para mirar las soluciones de la forma $f(x)(2x^4 - 2x^2 + 1)^{1/2}$, y la esperanza de una simplificación. De hecho, diferenciando esta expresión obtenemos la ecuación diferencial

$$(2x^4 - 2x^2 + 1) \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} + 2x(2x^2 - 1) f = \frac{x^2-1}{x^3}$$

que se puede resolver con un factor de integración.

Answer 2

Sustituto $u=1/x$ para obtener $$ \int \frac{u^3 - u}{\sqrt{u^4-2u^2+2}}\,du $$ Esta integral es mucho más simple, y puede ser resuelto mediante la sustitución de $v = u^4 - 2u^2 + 2$. El resultado final es $$ \int\frac{x^{2}-1}{x^{3}\sqrt{2x^{4}-2x^{2}+1}}\,dx \;=\; \frac{\sqrt{2x^4-2x^2+1}}{2x^2} + C. $$

Answer 3

Si todo lo demás falla, Wolfram Alpha puede guiarlo a través de una solución paso a paso, aunque es ridículamente complicado. Lo siento, pero no veo la solución inmediatamente.

Haga clic aquí para Wolfram Alpha de evaluación - con la solución.