Si $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$ es finito, es verdad eso de $ \lim_{x \rightarrow \infty} f'(x) = 0$?

Question

Hace finito $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$ implica que $\lim_{x \rightarrow \infty} f'(x) = 0$? Si no, podría dar un contraejemplo?

Es obvio que para la función constante. Pero ¿y los demás?

Answer 1

Simple contraejemplo: $f(x) = \frac{\sin x^2}{x}$.

ACTUALIZACIÓN: puede parecer que una respuesta es una unexplicable suerte, supongo, pero no lo es. Yo sugiero mirar a Brian M. Scott respuesta a ver por qué. Su respuesta revela exactamente el razonamiento de que primero debe pasar en la cabeza. Empecé a pensar a lo largo de la misma línea y, a continuación, acabo de cambiar los triangular golpes con la $\sin x^2$ que oscila más y más rápidamente como $x$ va al infinito.

Answer 2

Si usted no ve un ejemplo de uso de funciones conocidas, usted puede pensar de esta manera.

Comience con una función lineal a trozos $f$ cuya gráfica se encuentra a lo largo de la $x$-eje, excepto en los intervalos de $\left[n-\frac1{n^2},n+\frac1{n^2}\right]$$2\le n\in\Bbb Z$; $\left[n-\frac1{n^2},n\right]$ se eleva linealmente de$0$$\frac1n$, y en $\left[n,n\right]$ cae linealmente a $0$. Claramente $\lim\limits_{n\to\infty}f(x)=0$. Esta función no es diferenciable en los puntos de $n$$n\pm\frac1{n^2}$$n\ge 2$, pero es claramente posible para suavizar las esquinas. Tenga en cuenta que la pendiente de la gráfica en $\left[n-\frac1{n^2},n\right]$$n$; si usted suavizar las esquinas sin cambiar los valores de la función en los puntos de $n$$n\pm\frac1{n^2}$, el valor medio teorema se asegurará de que cada una de las $n\ge 2$ habrá un punto de $x\in\left[n-\frac1{n^2},n\right]$ donde $f\,'(x)=n$, y por lo tanto $f\,'(x)$ no se acercará $0$$x\to\infty$.

Answer 3

$$\lim_{x\to \infty} f'(x) = \lim_{x\to \infty} \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Su afirmación sería verdadera si se les permitía cambiar el orden de los dos límites, que no es posible para todas las funciones.

Answer 4

Las ciudades de MinusOneVille y PlusOneVille están conectados por una escalera de tren. Una mañana, dos idénticos los trenes salen cada ciudad, en la dirección de la otra ciudad. Un friki de la matemáticas de la mosca se encuentra en la parte frontal de un tren, y ya que está en un buen estado de ánimo esta mañana, decide volar de ida y vuelta entre los trenes y disfrutar de la vista en ambas direcciones.

Ahora, los trenes no quiero pegarle a cada uno de los otros, de modo que poco a poco desacelerar, de modo que cada hora la distancia entre ellos se reduce a la mitad. La mosca, sin embargo, vuela a velocidad constante en cada dirección (y se desacelera y acelera más y más rápidamente al llegar a cada tren, así que se pasa la mayor parte de cada carrera en vuelo entre los trenes).

Ahora, el límite de la mosca de la posición de medida que pasa el tiempo está a medio camino entre las dos ciudades (marca 0), pero su velocidad no tiende a 0, ya que la mayoría del tiempo de vuelo entre los trenes en su buen estado de ánimo de la velocidad aerodinámica.

$x$ es el tiempo, $f(x)$ es el de la mosca de la posición, $f'(x)$ es su velocidad - lo $\lim_{x \rightarrow\infty}{f(x)} = 0$ pero $\lim_{x\rightarrow\infty}{f'(x)} \neq 0$.

Answer 5

Dan Shved contraejemplo dar una respuesta completa, sin embargo, si el límite de $\lim_{x\to\infty}f'(x)$ existe, $\lim_{x\to\infty}f'(x)$ debe ser igual a cero. Para ver esto, podemos aplicar Lagrange del valor medio teorema, tenemos $$\frac{f(x_n+h)-f(x_n)}{h}=f'(c_n)$$ donde $c_n\in(x_n , x_n+h)$ para cualquier monótona secuencia $x_n$ donde$\lim_{x\to\infty}x_n=\infty$$h=1$. Desde $\lim_{n\to\infty}c_n=\infty$ tenemos $$\begin{array}{ll} \lim_{n\to\infty}f'(c_n) &= \lim_{n\to\infty}\left(f(x_n+1)-f(x_n)\right) \\\\ &=0. \end{array}$$
y esto implica que si los límites de $\lim_{x\to\infty}f'(x)$ existe y
$\lim_{x\to\infty}f(x)$ es finito, entonces $\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$.