Cohomology de la rígido-analítica de los espacios

Question

Deje $R$ ser un discreto anillo de valoración y deje $K$ ser su campo de fracciones. Supongamos $X$ es un buen rígido-anaytic espacio de más de $K$. A menudo es conveniente disponer de un modelo de $X$ cuya reducción ha singularidades que son tan suave como sea posible--un semistable modelo. Esto equivale a tener la admisibilidad de una cubierta de $X$ por abrir affinoids $X_i$, cada uno de los cuales tiene buena reducción, de tal manera que las reducciones de cualquier par $X_i$ $X_j$ satisfacer de manera transversal, en todo caso. (Ver el artículo de Bosch/Lütkebohmert para las definiciones). Supongamos un semi-modelo estable de $X$ existe. A continuación, el étale cohomology de $X$ puede ser calculada a partir de la combinatoria de la cubierta $X_i$, junto con la étale cohomology de cada una de las $X_i$, a través del peso espectral de la secuencia de Rapaport-Zink.

Ahora supongamos que tengo un abrir affinoid $Z\subset X$ que pasa a tener buena reducción. Mi pregunta es: ¿hay que admitir un semi-modelo estable de $X$ que $Z$ pertenece a la cobertura? A falta de esto, ¿hay algún sentido uno puede hacer de mi intuición de que el cohomology de la reducción de $Z$ deben contribuir a la cohomology de $X$?

Siéntase libre de editar/criticar mi pregunta en mil pedazos si te gusta.

Answer 1

En la dimensión 1, la respuesta debería ser que sí, porque el semi-reducción estable es bien entendido. El único problema sería la diferencia entre la rigidez de la analítica de la reducción y la algebraica a la reducción formal que cubre define una reducción de la analítica, pero la reducción no necesariamente reducido algebraica de reducción (= fibra especial de que el régimen formal asociada a la parte formal de la cobertura). La respuesta debe ser en Bosch-Lütkebohmert del papel en la reducción estable de curvas y en Fresnel de van der Put libro (el segundo).

En una dimensión mayor, yo soy un poco escéptico. Como Emerton señalado, se podría construir un modelo containning $\overline{Z}$ en su reducción de al menos birationally (resultado de Raynaud, explicó en Melhmann de la tesis en Münster). Pero no está claro para mí si un semi-estable modelo dominante de un determinado modelo de existir. Otra dificultad en la dimensión superior es que el semi-estable reducción no es único, aunque en buena reducción de casos (no unicidad de un mínimo de birational modelo). Sin embargo, usted tiene dos estable reducciones cuya irreductible componentes no son todos uniruled, entonces no es un uno-uno birational correspondencia entre los componentes de dos estable reducciones (Abhyankar del lexema, no recuerdo si este requiere desingularization).

Answer 2

He aquí un primer paso en su pregunta; es de esperar que se sugieren algo más definitivo.

Vamos a imaginar que estaban en el caso más simple, donde $X$ es un disco, con su buen modelo ser formal afín a la línea de$R$, $Z$ fue el sub-disco de elementos de valor absoluto menor o igual que el valor absoluto de la uniformizer. Entonces podemos encontrar un semistable modelo en el que $Z$ es uno de la cubierta se abre, por la voladura de la formal afín a la línea en el origen.

Así que, en este caso de prueba, la respuesta parece ser que sí .

Ahora en general, creo que de Raynaud (y/o sus colaboradores o de aquellos que los siguieron en su la tradición) dirá que el abierto de inmersión $Z \rightarrow X$ se extiende a abrir una inmersión de modelos formales. Así que puede volar el modelo suave de $X$ y el modelo suave de $Z$ de modo que este último se encuentra dentro de las antiguas. Lo que yo no estoy muy seguro sobre cuánto usted puede controlar la naturaleza de estos blow-ups. (Es de suponer que no en todos en general, pero estás empezando de una manera bastante agradable situación).

Has probado a preguntar Brian Conrad?