¿Qué es el producto de una función delta de Dirac por sí misma?

Question

¿Qué es el producto de una función delta de Dirac por sí misma? ¿Qué es el producto punto consigo mismo?

Answer 1

Una distribución es en realidad una función lineal en el espacio de las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto (las llamadas "funciones de prueba"). Una función $f$ se soporta de forma compacta si $\overline{\{x : f(x) \neq 0\}}$ es compacta (la sobrelínea denota el cierre).

El $\delta$ -es una función lineal tal que para todo $\phi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ tenemos que $\langle \delta, \phi \rangle = \phi(0)$ .

Cuando se quiere calcular el producto de distribuciones el problema es que no se tiene una propiedad que realmente nos gustaría tener, que es la asociatividad. Así que para las distribuciones $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ solemos tener eso $(\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma \neq \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma)$ . Wikipedia da un ejemplo. Sin embargo, esto no resulta realmente un problema en las aplicaciones. Lo que sí tenemos es la convolución.

Cuando queremos hacer la convolución preferimos una clase más pequeña de distribuciones (por ejemplo porque en la clase más pequeña la transformada de Fourier de una distribución en esta clase es de nuevo una distribución en esta clase). En realidad, ésta tiene una clase de funciones de prueba más tosca, como funciones de prueba aquí tomamos las funciones de Schwartz, que son las funciones suaves de las que la función misma y todas sus derivadas son rápidamente decrecientes. $f$ se dice que es rápidamente decreciente si hay constantes $M_n$ tal que $|f(x)| \leq M_N |x|^{-N}$ como $x \to \infty$ para $N = 1,2,3,\ldots$ .

Para empezar a definir la convolución, primero definimos qué es la convolución de la función Schwartz con una distribución templada. Sea $f$ sea nuestra distribución templada, entonces podemos demostrar que la siguiente definición tiene realmente sentido: $$\langle \phi * f, \psi \rangle := \langle f, \tilde{\phi} * \psi \rangle$$ donde $\tilde{\phi}(x) = \phi(-x)$ . Obsérvese que la RHS está bien definida. La convolución es una cosa bonita, podemos ver que si empezamos con una distribución templada y la convolucionamos con una función de prueba, el resultado será suave. Ahora, $L_1 * L_2$ es la única distribución $L$ con la propiedad de que $L * \phi = L_1 * (L_2 * \phi)$ . Podemos demostrar que esto es conmutativo.

Bien, ahora observa que $\delta * \phi(x) = \phi(x - y)|_{y = 0} = \phi(x)$ . Así que vemos que $\delta * \delta = \delta$ .

Si quieres que comente el producto punto de las distribuciones, primero tendrías que explicar qué quieres decir con eso.

Hasta aquí esta breve digresión sobre las distribuciones.

EDITAR : Bien, quieres calcular $\delta^2$ . Dejemos que $\phi_n$ sea una aproximación a la identidad y que converja a $\delta$ en el sentido de las distribuciones, pero $\phi_n^2$ no converge en absoluto, ya que la integral contra una función de prueba que no desaparece en el origen explota como $n \to \infty$ .

Answer 2

Aquí hay una heurística que sugiere que será difícil definir el cuadrado de la función delta.

La transformada de Fourier tiene la propiedad de llevar la convolución de dos funciones al producto de sus transformadas de Fourier, y viceversa, es decir, lleva el producto de dos funciones a su convolución.

Recuerda que la transformada de Fourier de la función delta es la función constante( $=1$ ). Supongamos ahora que $\delta^2$ existe. Entonces su transformada de Fourier sería la convolución de dos funciones constantes. Tal convolución se dispararía al infinito en cada punto. Incluso la teoría de las distribuciones no puede manejar este tipo de cosas. Entonces, ¿cómo imaginarías la transformada de Fourier inversa de esto? ¿Cómo tendría sentido?

Answer 3

Esta respuesta es principalmente para ampliar este comentario . Por ese comentario y el siguiente, me parece que draks piensa en el delta como una función, y por el título, parece que el OP también lo hace. O al menos, esto era cierto en el momento de publicar el comentario y la pregunta respectivamente. Erradiquen esta idea errónea de sus mentes de una vez Si es que está ahí. El delta es no una función, aunque a veces se le llama "función Delta".

Permítanme que les ponga en antecedentes, una pequeña cronología de mi relación con el Delta.

1. La primera vez que oí hablar de ella fue a través de mi padre, profesor de Física y físico, que me la presentó como una función que equivale a 0 fuera de 0 y a infinito en 0. Tal función me pareció abstrusa, pero tenía otras preocupaciones en mente, así que no me molesté en investigar. Así es como Dirac pensó originalmente en la Delta cuando la introdujo, pero, como veremos, esta definición es inútil porque no da la identidad más usada que involucra a esta "función";
2. Luego tuve la teoría de la medida, y voilà una Delta de Dirac de nuevo, esta vez una medida, que da un conjunto de medida 0 si 0 no está en él, y 1 si 0 está. Más precisamente, $\delta_0$ es una medida sobre $\mathbb{R}$ y si $A\subseteq\mathbb{R}$ entonces $\delta_0(A)=0$ si $0\not\in A$ y 1 en caso contrario. En realidad, se me presentaron incontables Deltas, uno por cada $x\in\mathbb{R}$ . $\delta_x$ , para $x\in\mathbb{R}$ era una medida en la recta real, dando medida 0 a un conjunto $A\subseteq\mathbb{R}$ con $x\not\in A$ y 1 a un conjunto que contiene $x$ ;
3. Luego tuve Física 2 y Mecánica Cuántica, y este Delta apareció como una función, y yo estaba como, ¡WTF! Es una medida, no una función. Ambos cursos hizo decir que era una distribución, y no una función, así que yo estaba como, ¿qué en el mundo es ¿una distribución? Pero en ambos cursos, al utilizarla, siempre la trataron como una función;
4. Luego tuve Física Matemática, incluyendo una parte de la teoría de la distribución, y finalmente me quedé como, oh OK, que ¡es lo que es una distribución! La medida y la distribución son parientes cercanos, ya que la distribución no es más que la integral con respecto a la medida de la función a la que se le da como argumento esta distribución.

En ambos casos, es a priori no tiene sentido multiplicar dos deltas. Bueno, se podría hacer una medida del producto, pero eso sólo sería otro delta sobre un producto cartesiano, sin necesidad de atención especial. En el entorno de la distribución, tenemos lo siguiente esta respuesta dice, lo que nos da una respuesta a lo que el producto puede y los problemas con los que nos podemos encontrar.

¿Qué es el producto de los deltas? ¿Y a qué se debe la afirmación del comentario?

La respuesta a la primera pregunta es: hay no producto de los deltas. O mejor dicho, para multiplicar distribuciones se necesitan convoluciones, y éstas necesitan algunas restricciones para ser asociativo.

La segunda pregunta puede responderse de la siguiente manera. Esa afirmación es una abreviatura formal. Normalmente se utiliza dentro de una integral doble como: $$\int_{\mathbb{R}}f(\xi)\int_{\mathbb{R}}\delta(\xi-x)\delta(x-\eta)dxd\xi,$$ que con el enunciado formal se reduce a $f(\eta)$ . He visto este tipo de integrales en la Mecánica Cuántica, creo. Recuerdo una especie de teorema espectral para algún tipo de operadores en el que había una parte del espectro, el espectro discreto, que daba un sistema ortonormal de vectores propios, y el espectro continuo de alguna manera daba deltas, pero volveré aquí para aclararlo después de buscar detalles en lo que tengo de esas lecciones.

Editar: $\newcommand{\braket}[1]{\left|#1\right\rangle} \newcommand{\xbraket}[1]{|#1\rangle}$ He cribado un poco y he encontrado lo siguiente:

Teorema espectral Dado un operador autoadjunto $A$ el conjunto de vectores propios $\braket{n}$ de $A$ puede completarse con una familia de distribuciones $\braket{a}$ , indicada por un parámetro continuo $a$ que satisfacen: \begin{align*} A\braket{n}={}&a_n\braket{n} && \braket{n}\in H, \\ A\braket{a}={}&a\braket{a} && \braket{a}\text{ distribution}, \end{align*} de tal manera que forme una base "generalizada" de $H$ en el sentido de que todo los vectores de $H$ puede escribirse como una combinación lineal infinita: $$\braket{\psi}=\sum c_n\braket{n}+\int da\,c(a)\braket{a}.$$ El conjunto de valores propios (propios y generalizados) de $A$ se llama espectro de $A$ y es un subconjunto de $\mathbb{R}$ .

¿Qué ocurre con la identidad de Parseval? Naturalmente: $$\langle\psi,\psi\rangle=\sum|c_n|^2+\int da\,|c(a)|^2.$$ Así que esta "base" es ortonormal en el sentido de que los vectores propios lo son, las distribuciones tienen como producto una familia de deltas, o: $$\langle a,a'\rangle=\delta(a-a'),$$ y multiplicando los vectores propios por las distribuciones también se obtiene un bonito y gran 0.

La famosa identidad que mencioné en la línea de tiempo anterior y que luego olvidé ampliar es en realidad lo que define el delta, o al menos lo que el profesor de QM utilizó para definirlo: $$\int_{\mathbb{R}}f(x)\delta(x-x_0)=f(x_0),$$ para cualquier función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ y $x_0\in\mathbb{R}$ . Si el $\delta$ fuera una función, tendría que ser cero fuera de 0, pero estoy seguro de que sabes muy bien que alterar el valor de una función en un solo punto no altera la integral, y la integral en la identidad anterior sería una integral de una función que es 0 salvo en un punto, por lo que sería 0, y si $f(x_0)\neq0$ la identidad no se mantendría.

Obsérvese que este enunciado formal es muy parecido a un enunciado análogo para los deltas de Kronecker: $$\sum_n\delta_{nm}\delta_{nl}=\delta_{ml}.$$ Imagina llevar esto al continuo: las sumas se convierten en integrales, y lo que puede $\delta_{nm}$ se convierten si no $\delta(n-m)$ ? Así que el enunciado no es más que un análogo formal del enunciado verdadero con los deltas de Kronecker al entrar en el continuo. Por supuesto, distributivamente no tiene sentido, ni en términos de medida.

No tengo ni idea de cómo pueden ser útiles las integrales con dos deltas, y no he encontrado ninguna en mi criba. Voy a tamizar más, y tal vez Google, y si encuentro algo interesante, voy a estar de vuelta.

Actualización: $\newcommand{\lbar}{\overline} \newcommand{\pa}[1]{\left(#1\right)}$ Decidí dejar la criba y concentrarme en los exámenes. Sin embargo, busqué en Google y encontré este .

Otro argumento que yo mismo he pensado a favor de la declaración es el siguiente. Sea $\phi$ ser una función. Es bastante natural decir: $$\phi=\int_{\mathbb{R}}\phi(a)\delta(x-a)da,$$ ya que para cualquier $x$ esto da como resultado $\phi(x)$ . Ahora bien, ¿qué ocurre con el $L^2$ -¿norma? $$N:=\|\phi\|_{L^2}^2=\int_{\mathbb{R}}\lbar{\phi(x)}\phi(x)dx=\int_{\mathbb{R}}\lbar{\int_{\mathbb{R}}\phi(a')\delta(x-a')da'}\cdot\pa{\int_{\mathbb{R}}\phi(a)\delta(x-a)da}dx.$$ La conjugación compleja se puede llevar dentro de la primera integral. Ahora para un físico las integrales que no se intercambian son malvado y seguramente no queremos ninguna maldad, así que asumimos que podemos reordenar las tres integrales como queramos, y obtenemos $$N=\int_{\mathbb{R}}da\,\phi(a)\cdot\pa{\int_{\mathbb{R}}da'\,\lbar{\phi(a')}\cdot\pa{\int_{\mathbb{R}}dx\,\delta(x-a)\delta(x-a')}}.$$ Supongamos que el enunciado formal es válido. Entonces la integral más interna da como resultado $\delta(a-a')$ y la segunda más interna da como resultado $\lbar{\phi(a)}$ que luego se combina con $\phi(a)$ fuera de ella para formar $|\phi(a)|^2$ , que integrado da el $L^2$ norma de $\phi$ al cuadrado. Si el enunciado no lo hace mantener, parece poco razonable pensar que todavía podemos sacar la norma cuadrada de ese lío. Así que la afirmación debe sostenerse, de lo contrario las integrales no se intercambian.

Answer 4

Creo que la respuesta proporcionada por Jonas es correcta, pero Jonas asumió que "producto" significaba convolución, ya que ésta es normalmente la única operación binaria que suele tener sentido con la función delta de Dirac.

Así que si por producto te refieres a la convolución entonces: δ∗δ=δ

Si por "producto" te refieres a la multiplicación por puntos, entonces la respuesta es: Indefinida.

El enfoque habitual es tratar δ como el límite de alguna función delta naciente. Véase Función Delta para ver ejemplos de estas funciones delta nacientes. Así pues, si se multiplican dos funciones δ nacientes y se toma el límite, el resultado variará dependiendo del par de funciones δ nacientes seleccionado. En la mayoría de los casos la integral del producto puntual de dos funciones δ nacientes es cero al tomar el límite, en algunos casos la integral es 1, en otros casos el valor de la integral tiende a infinito al tomar el límite de δ naciente.

Por ejemplo Si se multiplica la naciente δ del rectángulo con la naciente δ que es un pulso triangular, entonces la integral de la cúbica resultante tiende a cero a medida que el intervalo tiende a 0. Si se multiplica la versión sinc de la naciente δ consigo misma, entonces la integral es igual a la frecuencia de la función sinc. En este caso la integral tiende a infinito como la frecuencia de la función sinc tiende a infinito.

Por ello, la respuesta original dada (La pregunta no tiene sentido) es la mejor porque el término "producto" en su significado común (por ejemplo, la multiplicación puntual de dos funciones) conduce a resultados contradictorios para el proceso de límite. Utilizar el término "producto" cuando te refieres a la convolución (la única operación que produce resultados significativos) es, en el mejor de los casos, confuso.