¿Se puede simplificar esta suma? $ \sum_{k=0}^{n-1} { n -1 \choose k } (-2)^{k} (2n - k)! $ ?

Question

¿Se puede simplificar más esta expresión? $ \sum_{k=0}^{n-1} { n -1 \choose k } (-2)^{k} (2n - k)! $ ? Este es el coeficiente de $x^{2n}$ en la expansión formal de la serie de potencias de $(1-2x)^{n-1} \times \sum_{ k \geq 0} k! x^k$ .

Motivación: Me encontré con esto al tratar de resolver un problema usando el principio de inclusión-exclusión, no menciono el problema original porque me interesa esta suma como un problema independiente.

Answer 1

Es una función hipergeométrica confluente $\rm\ (2n)! \phantom{f}_1 F_1(1-n;\: -2\:n;\: -2)\ $ que puede expresarse de forma cerrada en términos de funciones de Bessel modificadas del primer tipo, a saber

$$\begin{split}(-1)^n &2^{\frac12-n}e^{-1-i\pi n}(n+1)\Gamma\left(\frac12-n\right)\Gamma(2n)I_{\frac12(-2n-1)}(1)-\\&(-1)^n 2^{\frac12-n}e^{-1-i\pi n}\Gamma\left(\frac12-n\right)\Gamma(2n)I_{\frac12(1-2n)}(1)\end{split}$$

Es posible que tenga una forma cerrada más sencilla, ya que los distintos simplificadores hipergeométricos de CAS no siempre son óptimos (lo anterior es a través de Mathematica ). El Superseeker de la OEIS no lo conoce, por lo que puede presentarla allí.

Answer 2

Como una forma de reafirmar la respuesta de Bill, lo que tienes puede ser expresado en términos de la llamada Polinomio de Bessel (generalizado) :

$$y_n(x;a)=(n+a-1)_n \left(\frac{x}{2}\right)^n {}_1 F_1 \left(-n;-2n-a+2;\frac{2}{x}\right)$$

(la serie hipergeométrica de Kummer degenera aquí en un polinomio porque los parámetros del numerador y del denominador son enteros negativos)

Su expresión original, entonces, en términos del polinomio de Bessel (generalizado), es

$$(-2)^{n-1}(n+1)!y_{n-1}(-1;4)$$

Las referencias en el DLMF pueden indicarle artículos en los que se han estudiado los polinomios de Bessel (generalizados); para un tratamiento elemental, véase el libro de Chihara Introducción a los polinomios ortogonales .