Sobre las transformaciones isométricas afines

Question

Algo impulsado por los debates de Qiaochu Yuan y Aryabhata en este pregunta me di cuenta de que mi comprensión de las transformaciones lineales/afines hasta ahora se había construido sobre una serie enrevesada de argumentos circulares. Ahora voy a hacer una pregunta con el fin de llenar los vacíos en mi conocimiento.

Debido a mi tendencia innata a ver las cosas de manera geométrica, siempre había dado por sentado el hecho de que las rotaciones, los reflejos y las traslaciones, entre otras transformaciones afines, son isométricas (es decir, no importa cómo se mueva, gire o refleje un objeto, todas las longitudes y ángulos no cambian en absoluto).

Para decirlo de otra manera, consideré estas transformaciones como isometrías como postulados.

Mi pregunta, entonces, es si hay una forma rigurosa (tan probablemente no geométrica) de justificar que estas transformaciones son isometrías.

Answer 1

Implícitamente se definen las rotaciones, traslaciones y reflexiones como ciertos tipos de transformaciones afines. Por lo tanto, basta con comprobar algebraicamente que conservan las distancias. (No es necesario comprobar que conservan los ángulos: eso se deduce inmediatamente por la polarización).

Eso no es muy profundo. La demostración geométrica habitual de que las reflexiones y las traslaciones se componen de un número finito de reflexiones ofrece más información. Que una reflexión es una isometría no sólo es geométricamente obvio, sino también fácil de demostrar algebraicamente.

Answer 2

Al igual que en mi comentario sobre la pregunta a la que te refieres, la forma exacta de definir las cosas es fundamental. Supongamos que consideramos transformaciones del plano en las que éste se define como $\mathbb{C}$ y una transformación del plano es una función 1-1 $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ . Una isometría es una transformación que preserva las distancias, por lo que una transformación $f$ es una isometría si y sólo si $|f(a)-f(b)|=|a-b|$ para todos $a,b\in\mathbb{C}$ .

Teorema: Cualquier función de la forma $f(z)=cz+d$ (isometría directa) o $f(z)=c\bar{z}+d$ (isometría opuesta) donde $c,d\in\mathbb{C}$ y $|c|=1$ es una isometría.

prueba: (isometría directa) $|f(a)-f(b)|$ $=|ca+d-(cb+d)|$ $=|ca-cb|$ $=|c(a-b)|$ $=|c|\cdot|a-b|$ $=1\cdot|a-b|$ $=|a-b|$ . (isometría opuesta) $|f(a)-f(b)|$ $=|c\bar{a}+d-(c\bar{b}+d)|$ $=|c\bar{a}-c\bar{b}|$ $=|c(\bar{a}-\bar{b})|$ $=|c|\cdot|\overline{a-b}|$ $=1\cdot|a-b|$ $=|a-b|$ .

También hay que tener en cuenta que si $f$ y $g$ son isometrías, también lo es $f\circ g$ .

Para nuestros propósitos y para simplificar, definir una traducción por $a+bi$ para ser la función $T_{a+bi}(z)=z+a+bi$ una rotación alrededor de 0 por $\theta$ para ser la función $R_\theta(z)=(\cos\theta+i\sin\theta)z$ y la reflexión sobre el eje real será $r_\mathbb{R}(z)=\bar{z}$ . (Debería ser relativamente fácil demostrar que estas definiciones se ajustan a cualquier definición geométrica). Cada una de ellas es claramente una isometría, basada en el teorema anterior.

Para una rotación alrededor de un punto $p$ en lugar de alrededor de 0, aplicar $T_p\circ R_\theta\circ T_{-p}$ . Para una reflexión sobre una línea paralela al eje real y que pasa por $bi$ , solicitarlo $T_{bi}\circ r_\mathbb{R}\circ T_{-bi}$ . Para una reflexión sobre una línea no paralela al eje real, que corta el eje real en $a$ en un ángulo $\theta$ , solicitarlo $T_a\circ R_\theta\circ r_\mathbb{R}\circ R_{-\theta}\circ T_{-a}$ . Cada una de ellas es también una isometría porque es la composición de isometrías.

Así, cualquier rotación, reflexión o traslación del plano es una isometría.

Answer 3

Vale, esta es bastante fácil.

Consulta la teoría de las matrices ortogonales en la wiki. La idea básica es que la matriz correspondiente a la transformación lineal isométrica debe ser ortogonal. La demostración es realmente bonita, pero básicamente la idea es demostrar que un producto interior de dos vectores

(X,Y) es igual a (AX,AY) para una matriz A, si y sólo si la transposición de A es igual a su inversa, es decir, A es ortogonal. El siguiente paso es demostrar que la matriz de rotación es ortogonal, y eso es una prueba rigurosa.

Esta idea es fácilmente generalizable a las métricas no euclidianas. Aunque quizá sea un nivel demasiado alto, me encantan los grupos de matrices de mentira de Brian C. Hall. El primer capítulo es sobre libros de google y contiene algunas pruebas sencillas. Este libro sólo se vuelve súper difícil en el capítulo 3; los grupos/álgebras de mentiras es uno de mis temas favoritos y es ciertamente donde esta línea de preguntas te llevará.

Answer 4

El primer punto que destacaría es que las traducciones son no transformaciones lineales porque toda transformación lineal debe llevar 0 a 0, y la única traslación que lo hace es el mapa de identidad.

Sin embargo, aquí hay una forma general de ver exactamente qué transformaciones lineales son isometrías (incluyendo rotaciones y reflexiones).

Una forma es empezar con el producto interno euclidiano. En la "base estándar", se ve como $\langle v,w\rangle = \sum_i v_i w_i$ . Una vez que tenemos esto, la longitud de un vector $x$ se define como $\sqrt{\langle x,x\rangle}$ . La notación para esto es $|x|$ . El ángulo entre dos vectores $x$ y $y$ se define por $cos\theta = \frac{\langle x,y\rangle}{|x||y|}$

Diremos que una función "preserva el producto interior" si $\langle x , y\rangle = \langle f(x), f(y)\rangle$ para todos $x$ y $y$ .

Afirmación 1. Una función lineal preserva el producto interior si la función lineal preserva todas las longitudes.

La prueba en un sentido es trivial. Suponiendo que la función lineal preserva todas las longitudes, observe que

$|x|^2 + 2\langle x,y\rangle + |y|^2 = \langle x+y,x+y\rangle = \langle f(x) + f(y), f(x) + f(y)\rangle $

$= |f(x)|^2 + 2\langle f(x),f(y)\rangle + |f(y)|^2$ .

Ahora, utilizando el hecho de que $|x|^2 = |f(x)|^2$ nos enteramos de que $\langle x,y\rangle = \langle f(x), f(y)\rangle$ . (Obsérvese que, como ventaja añadida, si una transformación lineal preserva la longitud, preserva el producto interior y, por tanto, automáticamente también preserva los ángulos).

Lo siguiente que merece la pena destacar es que se puede desplazar una transformación lineal en un producto interior. Es decir, si $A$ es una matriz cualquiera, entonces existe una única matriz $B$ tal que $\langle Ax, y\rangle = \langle x,By\rangle$ para todos $x$ y $y$ . De hecho, en una base ortonormal, $B$ se da simplemente como la transposición de $A$ - es decir, $B = A^t$ . La prueba es sencilla: dejemos que $e_i$ sea una base ortonormal. Entonces $A_{ij} = \langle Ae_i, e_j\rangle = \langle e_i, Be_j\rangle = B_{ji}$ .

Por último, llegamos a cómo reconocer exactamente las isometrías.

Afirmación 2: la matriz $A$ es una isometría si $A^t A = Id$ . Resulta que esto implicará automáticamente $AA^t = Id$ .

Aquí está la prueba.

Supongamos que $A$ es una isometría. Entonces $\langle x,y\rangle = \langle Ax, Ay\rangle = \langle x, A^t A y\rangle$ . Así, tenemos $\langle x,y\rangle = \langle x, A^tA y\rangle$ para todos $x$ y $y$ . Si establecemos $y = x$ , entonces obtenemos $|x|^2 = |x||A^tA x|cos\theta$ . Pero como $A$ es una isometría, también lo es $A^t$ y por lo tanto $|A^t A x| = |x|$ . Así, obtenemos $|x|^2 = |x|^2 cos\theta$ que nos dice $\theta = 0$ es decir, que $A^tA x = x$ .

Por el contrario, si $A^tA = Id$ entonces $\langle x,y\rangle = \langle x, A^t A y\rangle = \langle Ax, Ay\rangle$ , demostrando que $A$ es una isometría.

Por último, basta con comprobar que toda matriz de rotación y de reflexión satisface $A^tA = Id$ .

Answer 5

Consideremos $\mathbb{R}^3$ como un espacio vectorial en $\mathbb{R}$ dotado del producto escalar estándar $\langle,\rangle$ (también conocido como $\mathbb{E}^3$ el espacio euclidiano). Definimos una función $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ para ser un isometría si $||f(u)-f(w)|| = ||u-w||$ para todos $v,w \in \mathbb{R}^3$ es decir, si $f$ preservar las distancias .

Las transalciones son isometrías

Definimos un traducción de $z$ el mapa $\tau_{z}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ tal que $\tau_{z}(u) = u+z$ para todos $u \in \mathbb{R}^3$ . Entonces tenemos $$||\tau_{z}(u)-\tau_{z}(w)|| = ||(u+z) - (w+z)|| = ||u-w||$$ para todos $u,w \in \mathbb{R}^3$ así que hemos terminado.

Ahora consideramos las reflexiones y las rotaciones. Ambas son mapas lineales unitarios reales (también conocido como ortogonal o miembros de $O(3)$ ). Las siguientes son propiedades equivalentes de estas transformaciones del espacio:

• $\langle L(u),L(w)\rangle = \langle u,w\rangle$ para todos $L \in O(3)$ $u,w \in \mathbb{R}^3$ o conservan el producto escalar
• $||L(u)|| = ||u||$ para todos $L \in O(3)$ $u \in \mathbb{R}^3$ o conservan las longitudes
• $||L(u)|| = ||u||$ para todos $L \in O(3)$ y $u \in \mathbb{R}^3$ con $||u|| = 1$ o la esfera unitaria es $L$ -invariante

Ahora veremos que toda transformación unitaria real del espacio son isometrías, demostrando entonces que las reflexiones y rotaciones son de este tipo hemos terminado.

Las transformaciones unitarias reales son isometrías

Si $L \in O(3)$ entonces $$||L(u)-L(w)|| = \sqrt{\langle L(u)-L(w),L(u)-L(w)\rangle} = \sqrt{\langle L(u-w),L(u-w)\rangle}$$ por definición de norma y utilizando la linealidad de L, y $$\sqrt{\langle L(u-w),L(u-w)\rangle} = \sqrt{\langle u-w,u-w\rangle} = ||u-w||$$ utilizando una de las tres propiedades anteriores.

Las reflexiones son transformaciones unitarias (y por tanto isometrías)

Si $S\subseteq\mathbb{R}^3$ es un subespacio, el definimos la reflexión con respecto a $S$ el mapa lineal $\rho_{S}: S \oplus S^{\bot} \to S \oplus S^{\bot}$ de manera que si $u = u_{S}+u_{S^{\bot}}$ entonces $\rho_{S}(u) = u_{S}-u_{S^{\bot}}$ . Así que tenemos $$||u_{S}±u_{S^{\bot}}|| = \sqrt{||u_{S}||^2 + ||u_{S^{\bot}}||^2}$$ y luego $||\rho_{S}(u)|| = ||u||$ para todos $u \in \mathbb{R}^3$ que es una de las tres propiedades equivalentes anteriores.

Las rotaciones son transformaciones unitarias (y por tanto isometrías)

Esto es un poco raro. Como se puede leer aquí , tal vez la mejor manera de definir rotaciones es considerarlas como miembros parciales de $O(3)$ así que no hay nada que probar.

Nota: lo dicho sigue siendo cierto para un espacio arbitrario $V$ de dimensión $n$ en $\mathbb{R}$ dotado de un producto positivo $\langle ,\rangle$ debido al isomorfismo con $\mathbb{E}^n$ Este es el poder del álgebra lineal.