¿Existe una forma más corta o más rápida de demostrar que estas dos expresiones son iguales?

Question

Quiero saber si las dos expresiones son equivalentes:

1. $ \frac {1}{2}(k+2)(2a+(k+1)b)$
2. $ \frac {1}{2}(k+1)(2a+kb)+(a+(k+1)b)$

Mi intento:

Primero, decidí empezar con el 2 ya que el 1 me parece complicado (expandirlo lleva tiempo).

Ya que 1 tiene $ \frac {1}{2}$ como un factor, trato de expresar 2 en términos de $ \frac {1}{2}$ para conseguir:

$ \frac {1}{2} \left [(k+1)(2a+kb)+2a+2(k+1)b \right ]$

Ya que hay un $(k+2)$ en 1, decidí expandir todo lo que está entre corchetes y esperar que $(k+2)$ es un factor de esa expresión:

$ \frac {1}{2} \left [ k^2b+3b+2ak+4a+2b \right ]$

Usando la división larga del polinomio para dividir la expresión en los corchetes por $(k+2)$ lo entiendo:

$ \frac {1}{2} \left [(k+2) (kb+b+2a) \right ]$

Que puede ser simplificado a:

$ \frac {1}{2}(k+2)(2a+b(k+1))$ como se requiere.

¿Existe un método más eficiente para resolver este tipo de preguntas y cómo razonará sobre ello? Siento que me faltan algunos atajos/propiedades obvios ya que tuve que recurrir a la división larga polinómica.

Answer 1

Por inspección, las dos expresiones son cuadráticas en $k$ . Por lo tanto, si son iguales en tres valores diferentes de $k$ son iguales en todos valores de $k$ . Los valores más fáciles de comprobar son $k=0$ , $-1$ y $-2$ .

Para $k=0$ las expresiones se convierten en

$${1 \over2 }(0+2)(2a+(0+1)b)=2a+b$$ y $${1 \over2 }(0+1)(2a+0b)+(a+(0+1)b)=2a+b$$

Para $k=-1$ se convierten en

$${1 \over2 }(-1+2)(2a+0b)=a$$ y $${1 \over2 }(0)(2a-b)+a+0b=a$$

Y para $k=-2$ se convierten en

$${1 \over2 }(0)(2a-b)=0$$ y $${1 \over2 }(-1)(2a-2b)+(a-b)=0$$

Answer 2

Pruebe esto: $$ \eqalign { \frac {1}{2}(k+2)(2a+(k+1)b) &= \frac {1}{2}[(k+1)+1][(2a+kb)+b] \cr &= \frac {1}{2}[(k+1)(2a+kb)+(k+1)b+(2a+kb)+b] \cr &= \frac {1}{2}[(k+1)(2a+kb)+(2a+2kb+2b)] \cr &= \frac {1}{2}(k+1)(2a+kb)+(a+kb+b) \cr &= \frac {1}{2}(k+1)(2a+kb)+(a+(k+1)b) \cr }$$

Answer 3

Yo miraría los coeficientes de $a$ y $b$ independientemente, ya que cada expresión puede ser escrita como $f(k) \cdot a+g(k) \cdot b$ para algunos $f()$ y $g()$ . Para $a$ tenemos que comprobar que $ \frac12 (k+2) \cdot 2$ $= \frac12 (k+1) \cdot2 +1$ que es bastante inmediato (cancelar la $ \frac12 $ y el factor de $2$ en ambas expresiones); por $b$ tenemos que comprobar que $ \frac12 (k+2)(k+1)$ $= \frac12 (k+1)(k)+k+1$ . Multiplicando por $2$ esto se reduce a comprobar que $(k+2)(k+1) = (k+1)(k)+2(k+1)$ y unos pocos momentos de mirada mostrarán que esto es cierto (note que puede cancelar $k+1$ algebraicamente de ambos lados).