Hay una sencilla prueba para ${\aleph_\omega} ^ {\aleph_1} = {2}^{\aleph_1}\cdot{\aleph_\omega}^{\aleph_0}$?

Question

La pregunta contiene 2 etapas:

1. Demostrar que ${\aleph_n} ^ {\aleph_1} = {2}^{\aleph_1}\cdot\aleph_n$

Esta es bastante claro por inducción y por la aplicación de Hausdorff de la fórmula.

2. Demostrar ${\aleph_\omega} ^ {\aleph_1} = {2}^{\aleph_1}\cdot{\aleph_\omega}^{\aleph_0}$

Hay una sencilla prueba para la segunda?

Gracias de antemano.

Answer 1

Como usted menciona, la primera ecuación es una consecuencia de Hausdorff de la fórmula y la inducción.

Para el segundo: es evidente que el lado derecho es la mayoría en el lado izquierdo. Ahora:$2^{\aleph_1}\ge\aleph_\omega$, en cuyo caso, de hecho,$2^{\aleph_1}\ge{\aleph_\omega}^{\aleph_1}$, y hemos terminado, o $2^{\aleph_1}<\aleph_\omega$.

Afirmo que en este caso se ha ${\aleph_\omega}^{\aleph_1}={\aleph_\omega}^{\aleph_0}$. Una vez que se prueba esto, hemos terminado.

Tenga en cuenta que $\aleph_\omega={\rm sup}_n\aleph_n\le\prod_n\aleph_n$, por lo que $$ {\aleph_\omega}^{\aleph_1}\le\left(\prod_n\aleph_n\right)^{\aleph_1}=\prod_n{\aleph_n}^{\aleph_1}. $$

Ahora uso la parte 1, a la conclusión de que la ${\aleph_n}^{\aleph_1}<\aleph_\omega$ todos los $n$, ya que estamos suponiendo que el $2^{\aleph_1}<\aleph_\omega$. Esto muestra que el último producto es en la mayoría de las $\prod_n \aleph_\omega={\aleph_\omega}^{\aleph_0}$.

Esto demuestra que ${\aleph_\omega}^{\aleph_1}\le {\aleph_\omega}^{\aleph_0}$. Pero la otra desigualdad es obvia, y hemos terminado.