¿Cómo se demuestra formalmente que la rotación es una transformación lineal?

Question

El hecho de que la rotación sobre un ángulo sea una transformación lineal es importante (por ejemplo, se utiliza para demostrar las fórmulas de adición de ángulos seno/coseno; véase ¿Cómo puedo entender y demostrar las "fórmulas de suma y diferencia" en trigonometría? ) y algo intuitivo desde el punto de vista geométrico. Sin embargo, aunque este hecho parezca bastante obvio (al menos a partir de un diagrama), ¿cómo se convierte la prueba de la imagen en una prueba formal? En relación con esto, parece probable que muchas pruebas formales que utilizan un diagrama acaben basándose en la geometría euclidiana (utilizando las propiedades de congruencia de ángulos y lados), pero ¿no es uno de los objetivos del álgebra lineal evitar el uso explícito de la geometría euclidiana?

Answer 1

El problema viene a la hora de definir la rotación para que todo esto no acabe siendo circular, hacerlo por completo sin duda nos ataría a todos, pero se puede demostrar la linealidad de las rotaciones observando algunas propiedades de elección:

1. Las rotaciones conservan los ángulos
2. Fijan el origen
3. Y conservan longitudes

Ahora sólo hay que dibujar un paralelogramo $OACB$ (abarcados por los vectores $\vec{OB}, \vec{OA}$ - con $\vec{OC}=\vec{OB}+\vec{OA}$ ), girar y perseguir los ángulos y longitudes para observar que $R(\vec{OB})+R(\vec{OA})= R(\vec{OC})= R(\vec{OB}+ \vec{OA})$ .

Es un poco euclidiano, pero es la única manera decente de jugar (especialmente si queremos dimensiones más altas) sin el enfoque de "suposición afortunada" defendido por Qiaochu.

Adenda:

Si te sientes presionado, puedes convertir la persecución de ángulos y longitudes en normas y productos internos, pero eso sería un trágico desperdicio de un isomorfismo - aquí estamos tratando con un objeto geométrico en el lenguaje de los vectores y tratarlo de forma no geométrica nos pondría en una desventaja innecesaria.

Una buena parte de las matemáticas superiores depende de encontrar "el mejor lugar" para resolver un problema dado, pero el mejor lugar no tiene por qué ser el más abstracto: traducir algo de la EDP a la teoría del espacio de Hilbert puede ayudar a encontrar una solución, pero también puede robarnos nuestras técnicas geométricas y nuestra intuición.

Un gran ejemplo es algo llamado el teorema del h-cobordismo, que puede (y lo hace- la toma de Milnor es una joya) tomar un pequeño libro, utilizando técnicas formales (teoría de morse) para demostrarlo, pero se puede hacer en la mitad del tiempo con un poco de jazz geométrico (handlebody).

Los espacios vectoriales son una cuerda más de nuestro arco, un nuevo lugar para hacer matemáticas, y a veces un lugar más riguroso, pero no son (al menos desde mi perspectiva) el único lugar.

Answer 2

Esto depende de sus definiciones de "rotación" y "ángulo", pero, si está dispuesto a aceptar las fórmulas de suma y diferencia de su enlace ¿Cómo puedo entender y demostrar las "fórmulas de suma y diferencia" en trigonometría? entonces se puede seguir el razonamiento de la respuesta de Quiochu Yuan a la inversa: dado un vector $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ , dejemos que $\alpha$ sea el ángulo determinado por $(x,y)$ y el $x$ -eje y $r= \sqrt{x^2 + y^2}$ su longitud. Entonces, por supuesto,

$$\begin{eqnarray*} x &=& r \cos \alpha \\\ y &=& r \sin \alpha \end{eqnarray*}$$

Si gira $(x,y)$ un ángulo $\theta$ se obtendrá el vector $(x',y')$

$$\begin{eqnarray*} x' &=& r \cos (\alpha + \theta ) \\\ y' &=& r \sin (\alpha + \theta ) \ . \end{eqnarray*}$$

Ahora se aplican esas fórmulas de suma y diferencia y se obtiene

$$\begin{eqnarray*} x' &=& r \cos\alpha\cos\theta - r \sin\alpha\sin\theta &=& \cos\theta \cdot x - \sin\theta \cdot y\\\ y' &=& r \sin\alpha\cos\theta + r \cos\alpha\sin\theta &=& \sin\theta \cdot x + \cos\theta\cdot y \ . \end{eqnarray*}$$

Que es lo mismo que decir que $(x',y')$ se obtiene de $(x,y)$ multiplicando con la matriz

$$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$

Dado que la rotación $(x,y) \mapsto (x',y')$ es lo mismo que la multiplicación por una matriz, es una transformación lineal.

Answer 3

Si quieres ser formal y evitar la geometría euclidiana, me parece que el camino correcto es el inverso: definir primero ciertas transformaciones lineales (las que preservan el producto punto y tienen determinante $1$ ) y luego demostrar que tienen las propiedades que se espera que tengan. Más concretamente, el grupo $\text{SO}(2)$ es abeliana con el álgebra de Lie $\mathbb{R}$ y la parametrización $\theta \mapsto \left[ \begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right]$ es el mapa exponencial del álgebra de Lie al grupo. Los métodos para hacer esto deben ser cubiertos en cualquier libro sobre la teoría de Lie.

Answer 4

En primer lugar, ¿cómo se define la rotación de forma no geométrica?

Tal vez en el caso de 2D, se puede definir como la multiplicación por un número complejo (¡lo que de hecho es cierto!)

Una vez hecho esto, utiliza la definición de una Transformación Lineal.

Demuestre que el mapa T satisface:

1) $T(a + b) = T(a) + T(b)$ para cualquier vector $a,b$ (o números complejos, si se opta por esa vía)
2) $T(\alpha b) = \alpha T(b)$ para cualquier escalar $\alpha$ y cualquier vector $a,b$ .

Nótese que, se pueden definir los números complejos como vectores en abstracto sin tener que recurrir a ningún axioma euclidiano.

Answer 5

Puedes demostrarlo mirando el diagrama correspondiente y utilizando la trigonometría.

Sin embargo, lo interesante es que no es demasiado difícil demostrar que cualquier isometría de $\mathbb R^n$ (con su producto interior habitual) es necesariamente lineal. Por lo tanto, si se acepta que las rotaciones son isometrías (lo cual, al menos para mí, es mucho más evidente que el hecho de que sean lineales), se obtiene inmediatamente la linealidad.