Contar puntos en la cuártica de Klein

Question

En el libro de Moreno "Curvas algebraicas sobre campos finitos", menciona lo siguiente de pasada sin más comentarios ( $K$ denota el cuártico de Klein definido por $X^3 Y + Y^3 Z + Z^3 X = 0$ ):

El jacobiano de $K$ es un producto de tres curvas elípticas todas isógenas a la curva elíptica con multiplicación compleja sobre el campo $Q(\sqrt{-7})$ . Este último hecho implica la existencia de una fórmula para contar el número de puntos racionales en $K$ sobre el campo $\mathbb{F}_p$ que depende de cómo el prime $p$ divisiones en el ring $\mathbb{Z}[\sqrt{-7}]$ .

¿Alguien sabe a qué se refiere? La cuártica de Klein es lo mismo que la curva modular $X(7)$ que tiene género 3, ¡así que me interesaría mucho una fórmula así!

EDIT: Después de algunos cálculos, parece que el número de puntos en $X(7)$ en $\mathbf{F}_q$ es precisamente $q+1$ mientras $q \not\equiv 1 \bmod 7$ (*). En caso contrario, el comportamiento del término de error $a_q = q+1-\#X(7)(\mathbf{F}_q)$ es algo complicado, pero parece ser constante si restringimos la atención a los primos $q$ en ciertas progresiones cuadráticas, por ejemplo cuando $q$ es de la forma $28n^2 - 28n + 43$ mis datos sugieren que siempre tenemos $a_q = -12$ . ¿Alguien tiene alguna idea de lo que está pasando aquí? Tenga en cuenta que cuando $q \equiv 1 \bmod 7$ entonces $a_q/3 = b_q$ donde $b_n$ son los coeficientes de Fourier de la única forma de cúspide de peso 2 para el subgrupo de congruencia $\Gamma_0(49)$ .

Además, ¿cuál sería la interpretación moduli de la afirmación (*) anterior? Sabemos que $X(7)$ tiene 24 cúspides, pero la única vez que hay curvas elípticas definidas sobre $\mathbf{F}_q$ con 7-torsión racional completa es cuando $q \equiv 1 \bmod 7$ y la traza de Frobenius es 2 mod 7... así que ¿por qué debería haber precisamente $q-23$ puntos no acúspides en $X(7)$ cuando $q \not\equiv 1 \bmod 7$ ?

Answer 1

$\def\FF{\mathbb{F}}\def\PP{\mathbb{P}}\def\ZZ{\mathbb{Z}}$ A lo largo de esta respuesta, escriba $\zeta$ para una primitiva $7$ -enésima raíz de la unidad. (¿Qué campo $\zeta$ variará de una parte a otra de la respuesta).

Una gran referencia para el material que estoy discutiendo aquí es Notas de Elkies sobre las propiedades de la teoría de números del cuártico de Klein.

Breve explicación de $(\ast)$ Establecer $X = \{ (u:v:w) : u+v+w=0 \} \subset \PP^2$ . Hay un mapa $\phi: K \to X$ dada por $\phi(x:y:z) = (x^3 y: y^3 z : x z^3)$ . Se trata de un $7$ a $1$ cubierta, ramificada $(1:-1:0)$ , $(0:1:-1)$ y $(-1:0:1)$ . Formalmente, este mapa parece no estar definido en $(1:0:0)$ , $(0:1:0)$ y $(0:0:1)$ pero se puede comprobar que $\phi$ se extiende a estos puntos y los asigna a los puntos de ramificación. Escribiré $X^{\circ}$ y $K^{\circ}$ para $X$ y $K$ con estos puntos especiales eliminados. Véase también la sección 2.1 de Elkies.

Para $(u:1-u:1) \in X^{\circ}$ la preimagen de $(u:1-u:1)$ es $$(x:y:1) = \left(\sqrt[7]{\frac{u^3}{1-u}}:\ \frac{u}{x^2}: 1 \right).$$

Desde $\phi$ se define sobre $\FF_q$ para cualquier $q$ tenemos $\phi(K(\FF_q)) \subset X(\FF_q)$ . Supongamos $q \not \equiv 1 \bmod 7$ . Entonces cada elemento de $\FF_q$ tiene un único $7$ -th raíz en $\FF_q$ por lo que la ecuación anterior muestra que $\phi$ es biyectiva desde $K^0(\FF_q)$ a $X^0(\FF_q)$ . Los tres puntos que faltan en ambos $K$ y $X$ también se definen sobre $\FF_q$ Así que $\phi$ es una biyección $X(\FF_q) \to K(\FF_q)$ y $K(\FF_q)$ claramente tiene $q+1$ puntos.

Interpretación de los módulos El mapa $\phi$ es el cociente de $K$ por el automorfismo $(x:y:z) \mapsto (\zeta x: \zeta^2 y: \zeta^4 z)$ . Esta orden $7$ debe corresponder al elemento $\left( \begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \right)$ en $PSL_2(\FF_7) \cong \mathrm{Aut}(K)$ . Así que $X$ es el cociente de $K$ por $\left( \begin{smallmatrix} 1 & \ast \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \right)$ y vemos que $X = X_1(7)$ . Así que la pregunta que requiere una interpretación modular es por qué $X(7)(\FF_q) \to X_1(7)(\FF_q)$ es biyectiva para $q \not \equiv 1 \bmod 7$ . (En realidad, aquí hay un pequeño error, véase más abajo).

Creo que puedo responder a esto, pero mi respuesta requiere que te sientas cómodo con los esquemas de grupo. A lo largo de esta respuesta, voy a ignorar las cúspides de las curvas modulares.

Escribimos $Z/7$ para el esquema de grupo cíclico de orden $7$ y $\mu_7$ para el esquema de grupo de $7$ -raíces de la unidad. Así que $\#(\ZZ/7)(\FF_q) =7$ pero $\# \mu_7(\FF_q) = GCD(q-1,7)$ . Entonces (véase Elkies, sección 4.1), $X(7)(\FF_q)$ parametriza las curvas elípticas $E$ definido sobre $\FF_q$ con un isomorfismo elegido $E[7] \cong \ZZ/7 \times \mu_7$ compatible con el emparejamiento de Weil. Mientras tanto, $X_1(7)(\FF_q)$ parametriza $E$ definido sobre $\FF_q$ con una incrustación elegida de $\ZZ/7$ en $E[7]$ . Ver también esta respuesta por Pete Clark.

Debemos demostrar lo siguiente:

Sea $q \not \equiv 1 \bmod 7$ . Dada una curva elíptica $E$ definido sobre $\FF_q$ y una incrustación $\ZZ/7 \to E[7]$ hay exactamente una manera de extender esta incrustación a un isomorfismo $\ZZ/7 \times \mu_7 \to E[7]$ compatible con el emparejamiento de Weil.

Boceto de prueba: Voy a suponer $q \neq 7$ . Considere la acción $F$ de Frobenius en $E[7]$ . Esto viene dado por a $2 \times 2$ matriz $\Phi$ con determinante $q$ . Desde $\ZZ/7$ incrusta en $E[7]$ uno de los valores propios de $\Phi$ es $1$ . Desde $q \not \equiv 1 \bmod 7$ obtenemos que $\Phi$ es diagonalizable con valores propios $1$ y $q$ . El espacio eigénico de $q$ es isomorfo a $\mu_7$ . Así que $E[7] \cong \ZZ/7 \times \mu_7$ . Desde $q \not \equiv 1 \bmod 7$ no existen mapas no triviales entre $\ZZ/7$ y $\mu_7$ por lo que el isomorfismo es único hasta la torsión por un automorfismo en cada factor. El isomorfismo en el $\ZZ/7$ y la condición de emparejamiento de Weil fija el isomorfismo en el factor $\mu_7$ factor. $\square$

Error corregido En la sección 4.2 de Elkies aprendí que esto no es del todo correcto. El mapa $K \to X$ corresponde a no olvidar la $\mu_7$ factor de $E[7]$ , sino olvidar el $\ZZ/7$ ¡Factor! Así que $X$ es en realidad el espacio de moduli de las curvas $E$ con una inyección $\mu_7 \to E[7]$ . Sucede que ambos $X$ y $X_1(7)$ son isomorfas a $\PP^1$ pero a nivel de módulos, deberíamos tomar una curva $E$ con una inyección $\mu_7 \to E[7]$ y elevarlo a un isomorfismo $\ZZ/7 \times \mu_7 \cong E[7]$ . Afortunadamente, el mismo argumento sirve para esto.

Answer 2

¡Ah! Entonces, basta con entender lo que el $b_q$ están haciendo. El enlace anterior señala que la curva elíptica $E/\mathbf{Q}$ en cuestión tiene $\mathrm{End}(E) = \mathbf{Z}[\frac{1+\sqrt{-7}}{2}]$ es decir, se trata de una curva CM. Mi observación anterior sobre las progresiones cuadráticas se explica entonces por este documento (página 1, ¡nada menos!)

En este caso, sin embargo, parece posible obtener una descripción aún más explícita...

Answer 3

$\def\FF{\mathbb{F}}$ Voy a cambiar a otra respuesta para discutir las relaciones con $X_0(49)$ y la multiplicación compleja. De nuevo, los apuntes de Elkies son una buena referencia y $\zeta$ es una primitiva $7$ -enésima raíz de la unidad.

Sea $\Delta \subset PSL_2(\FF_7)$ sea el grupo de matrices diagonales. Sea $Y = \Delta \backslash K$ . Entonces $Y$ es la curva modular correspondiente al subgrupo aritmético $\left( \begin{smallmatrix} a & 7b \\ 7c & d \end{smallmatrix} \right)$ . Conjugar por $\left( \begin{smallmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \right)$ convierte este grupo en $\left( \begin{smallmatrix} a & b \\ 49c & d \end{smallmatrix} \right)$ que es $\Gamma_0(49)$ Así que $Y \cong X_0(49)$ . A nivel de módulos, cuando nuestro campo base contiene un $7$ -enésima raíz de la unidad, $K$ parametriza las curvas elípticas con una base para $E[7]$ (con una condición sobre el determinante) y $Y$ parametriza curvas con una división elegida de $E[7]$ en dos subgrupos cíclicos. Véase el penúltimo párrafo de la sección 4.2 de Elkies para saber por qué $Y \cong X_0(49)$ desde la perspectiva de los módulos.

También podemos utilizar esta perspectiva para explicar por qué $Y$ tiene CM por $(1+\sqrt{-7})/2$ . La curva $Y$ tiene género $1$ convertirla en una curva elíptica eligiendo la cúspide en $\infty$ como origen. Sea $y \in Y$ y que $z \in K$ sea una preimagen de $y$ . Escriba a $\pi$ para el mapa $K \to Y$ . Defina $$\alpha(y) = \pi \left( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} z \right)+ \pi \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} z \right)+ \pi \left( \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} z \right)$$ y $$\beta(y) = \pi \left( \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} z \right)+ \pi \left( \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} z \right)+ \pi \left( \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} z \right)$$ donde las sumas están en la ley del grupo en $Y$ .

Tenga en cuenta que la sustitución de $z$ por una preimagen diferente $\left( \begin{smallmatrix} a & 0 \\ 0 & a^{-1} \end{smallmatrix} \right) z$ sólo giraría $\alpha(y)$ en $$\pi \left( \begin{pmatrix} a & a^{-1} \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix} z \right)+ \pi \left( \begin{pmatrix} a & 2 a^{-1} \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix} z \right)+ \pi \left( \begin{pmatrix} a & 4 a^{-1} \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix} z \right)=$$ $$\pi \left( \begin{pmatrix} 1 & a^{-2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} z \right)+ \pi \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 a^{-2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} z \right)+ \pi \left( \begin{pmatrix} 1 & 4 a^{-2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} z \right) = \alpha(y).$$ Para llegar a la segunda línea, utilizamos que $\pi$ es el cociente por $\Delta$ Así que $\pi\left( \left( \begin{smallmatrix} a & 0 \\ 0 & a^{-1} \end{smallmatrix} \right) w \right) = \pi(w)$ . Así que $\alpha$ y $\beta$ son endomorfismos bien definidos de $Y$ .

Afirmamos que $\alpha+\beta+1=0$ y $\alpha \beta = \beta \alpha = 2$ . Así que $\alpha$ y $\beta$ generan un anillo cuadrático, con $\alpha$ y $\beta$ correspondiente a $\frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2}$ .

Verificamos que $\alpha+\beta+1=0$ : Escribiendo esto, debemos demostrar que $$\sum_{b=0}^6 \pi\left( \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} z \right) =0.$$

Escriba a $\psi$ para el mapa $Y \to X_0(7)$ que olvida uno de los dos sumandos en los que $Y$ descompone $E[7]$ . Entonces la suma anterior es $\sum_{\psi(y')= \psi(y) } y'$ . Pero $X_0(7)$ tiene género $0$ por lo que la clase de $\sum_{\psi(y') = w} y'$ es independiente de la elección del punto $w \in X_0(7)$ y tomando $y$ para ser la cúspide muestra que este valor constante es $0$ .

Esbozamos la verificación de $\alpha \beta = \beta \alpha = 2$ . Multiplicando ambos lados, debemos mostrar $$3 y + \sum_{b=1}^6 \pi\left( \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} z \right) = 2y.$$

Cancelación $2y$ de ambos lados, esto se convierte en nuestra verificación anterior.

Por supuesto, todo esto es sólo el uso que $\mathbb{Z}[\zeta]$ actúa sobre el jacobiano de $K$ y que $\zeta+\zeta^2+\zeta^4 = \frac{-1+\sqrt{-7}}{2}$ pero creo que es divertido verlo en términos de matrices.