Donde es la falla en la evaluación de la siguiente integral?

Question

Yo estaba tratando de evaluar un complicado integral por sustitución y por el camino me quedé atrapado en la falta de sentido de la respuesta. Sorprendentemente, el punto que quería comentar puede ser demostrada usando las siguientes primitivas integral:

$\displaystyle\int_0^\pi \sin\theta d\theta=-\cos\theta|_0^\pi=-\cos\pi+\cos 0=1+1=2$

Ahora Imaginemos que estamos tratando de hacer la misma integral de otra manera, por la sustitución.

Si tomamos $\sin\theta\equiv y$ luego de los límites de la integral cambiará en consecuencia de $0$ $\pi$a de$0$$0$, que va a matar la integral al instante y nos dará $0$!

Así que, o hay un error en mi solución, que no puedo encontrar, o que hay condiciones bajo las cuales se puede (o no) el uso de la integración por sustitución que yo no soy consciente de que (al menos yo nunca he visto en la universidad, a nivel de cálculo).

Answer 1

Integración por sustitución nos dice que $$\int_a^b f(g(\theta))g'(\theta)\, d\theta = \int_{g(a)}^{g(b)} f(y)\, dy$$ where $g:[a,b] \g([a,b])$ is continuously differentiable and $f:g([a,b]) \to \mathbb{R}$ es continua.

Ahora, entre el$0$$\frac{\pi}{2}$, si fijamos $y=g(\theta)=\sin \theta$$g'(\theta)=\cos \theta = \sqrt{1-y^2}$. Pero entre el $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ es de hecho el caso de que $\cos \theta = -\sqrt{1-y^2}$. Así, en la expresión anterior debemos tener $$ f(y) = \begin{cases} \frac{y}{\sqrt{1-y^2}} & \text{if } 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \\ -\frac{y}{\sqrt{1-y^2}} & \text{if } \frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi \end{cases}$$

Y, entonces, la integral de la realidad se transforma, a través de la integración por sustitución, a

$$\int_0^1 \frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\, dy + \int_1^0 \frac{-y}{\sqrt{1-y^2}}\, dy$$

que puede ser fácilmente visto a evaluar a $2$.