Hilo óptima bolas

Question

Bobinado de hilados en una bola sugiere algunas preguntas de matemáticas:

1. En algunas modelo natural, ¿qué caminos debe el hilo de seguir para lograr el más denso de la bola? Un modelo es el utilizado por Henryk Gerlach y Heiko von der Mosel en su papel "En la esfera de llenado de cuerdas" arXiv:1005.4609v1 (de matemáticas.GT). (Este es el mismo modelo que se sugiere en un MO pregunta.) Espero sería difícil extender las soluciones óptimas de los por encima de papel de múltiples capas para una bola de estambre. (A continuación se muestra una parte de la Fig.6 de su papel).

1. ¿Qué caminos debe el hilo de seguir para lograr el menos denso de la bola? Aquí me imagino capas formando una cuadrícula, que suspende el hilo sobre el espacio vacío como sea posible.

2. Al azar de bobinado. Típico de las instrucciones de cómo hacer esto a mano, decir, "Cambiar de dirección cada vez en un tiempo, mientras que usted está de liquidación, que" o "Como ajuste, gire lentamente el balón hacia la izquierda para mantener la distribución." ¿De qué densidad se logra por azar liquidación?

Planteo estas preguntas más que todo por curiosidad. Tal vez hay un proceso análogo (liquidación en el interior de una pelota de golf o de béisbol?) que ha sido estudiado matemáticamente.

Answer 1

Mi problema con esta pregunta es que no se siente bien definido. El grosor de la cuerda? Puede doblar en ángulos arbitrarios? Cómo de grande es la esfera para ser llenado? En general, sería de esperar que a medida que el radio de hace más y más grande, o como el grosor de la lana se hace más pequeño y más pequeño, que el asintótica cantidad de espacio ocupado por un máximo de llenado se acercaría a 1. Si el hilo tiene un apreciable en la radio, entonces tal vez sería de esperar que esto sea similar a la de llenar el balón con los cilindros. Allí, el óptimo de llenado de los rendimientos de una densidad de $\dfrac{\sqrt{\pi}}{12}$.

Por supuesto, también sería de esperar que hacerlo mejor que eso, ya que requiere que todos los cilindros en paralelo. Así que tal vez podríamos pensar en esto como un salto. Por lo tanto la densidad, $\rho$, s.t. $$\dfrac { \sqrt{ \pi} } {12} \leq \rho \leq 1$$ $ $ El obligado depende de la "squishiness' de la lana, los límites de su cambio de velocidad (es decir, es el máximo permitido de curvatura), y la relación de los radios de la lana y el balón.

Por supuesto, esto no es satisfactorio, como una respuesta. En última instancia, sólo puedo decir que creo que este es un problema abierto, en el sentido de que, incluso si estas ideas fueron bien definidos, que no han sido plenamente en cuenta.