Cómo diferenciar $y=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$?

Question

Estoy tratando de solucionar este problema, pero creo que me estoy perdiendo algo.

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

$$g(x) = \frac{1+x}{1-x}$$

$$u = 1+x$$ $$u' = 1$$

$$v = 1-x$$ $$v' = -1$$

$$g'(x) = \frac{(1-x) -(-1)(1+x)}{(1-x)^2}$$ $$g'(x) = \frac{1-x+1+x}{(1-x)^2}$$ $$g'(x) = \frac{2}{(1-x)^2}$$

$$y' = \frac{1}{2}(\frac{1+x}{1-x})^{-\frac{1}{2}}(\frac{2}{(1-x)^2}) $$

Answer 1

Hacer que tu vida sea más fácil el registro de: $$ L f(x) = \frac{1}{2} \log (1+x) - \frac{1}{2} \log (1-x) $$ Ahora diferenciar este y multply por $f(x)$.

Answer 2

Otra idea:

$$\frac{1+x}{1-x}=\frac2{1-x}-1\implies \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac2{(1-x)^2}\implies$$

$$\left(\sqrt\frac{1+x}{1-x}\right)'=\sqrt\frac{1-x}{1+x}\cdot\frac1{(1-x)^2}$$

Añadido a la solicitud:

$$\sqrt\frac{1-x}{1+x}\cdot\frac1{(1-x)^2}=\frac1{\sqrt{1+x}}\cdot\frac1{\sqrt{1-x}\cdot(1-x)}=\frac1{\sqrt{1-x^2}(1-x)}$$

Answer 3

vamos

$x=\cos u$ $$y=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=\sqrt{\frac{1+\cos u}{1-\cos u}}=\cot(\frac{u}{2})$$ $$y'=\frac{-1}{2}\csc^2(u/2)$$

entonces $u=\arccos x$

Answer 4

Escribir:

$$ y^2 = \frac{ 1 + x}{1 -x } \iff y^2 = 1 + \frac{2x}{1-x}$$ así que tomando la derivada con relación a $x$ da

$$ 2y y' = \frac{2(1-x) + 2x}{(1-x)^2} =\frac{2}{(1-x)^2} $$

así

$$ y' = \sqrt{ \frac{1-x}{1+x} } (1-x)^2$$

Answer 5

$$ y^2=\frac{1+x}{1-x}=\frac2{1-x}-1\implies Derivative =\frac2{(1-x)^2} $$

$$ 2 y y ^{'} = RHS $$

$$y'=\sqrt\frac{1-x}{1+x}\cdot\frac1{(1-x)^2}$$