¿Puede cualquier función estar acotada por una función separable?

Question

Dada una función $f(x,y)$ ¿podemos encontrar siempre funciones $h(x), g(y)$ tal que $$f(x,y) \leq h(x) + g(y)$$ para todos $x,y, \geq 0$ ?

Tenga en cuenta que no he puesto ninguna restricción a las funciones $f(x,y), g(x), h(y)$ arriba.

Ahora bien, quizás esto se desprenda automáticamente de la respuesta, pero también me interesaría saber si hay alguna diferencia si $f(x,y)$ es continua o suave, y si la respuesta es afirmativa en ese caso, si $h(x)$ y $g(y)$ también puede considerarse continua o suave.

Answer 1

Elija $h(x) = \sup_{|y|\leq|x|}|f(x,y)|$ y $g(y) = \sup_{|x|\leq |y|} |f(x,y)|$ . Entonces tenemos $h(x)\geq 0$ y $g(y)\geq 0$ en todas partes; es más, si $|x|\geq |y|$ entonces $h(x)\geq f(x,y)$ por definición, mientras que si $|y|\geq |x|$ entonces $g(y)\geq f(x,y)$ también por definición. En cualquier caso, tenemos $h(x)+g(y)\geq f(x,y)$ .

Esta solución requiere la hipótesis de que $f(x,y)$ está acotada en dominios compactos, pero no que sea continua. Si $f(x,y)$ no está acotado, entonces estoy bastante seguro de que es imposible: consideremos, por ejemplo. $f(x,y) = \frac{1}{|1-xy|}$ en $(\mathbb{R}^{+})^2$ (y definida arbitrariamente en la hipérbola; p. ej, $f(x,y)=0$ si $x=\frac1y$ ). Entonces, si $h(x)$ está acotado en cualquier intervalo $[a,b]$ podemos elegir un $y$ del intervalo $[\frac1b, \frac1a]$ y obtenemos una contradicción observando las vecindades del punto $(\frac1y, y)$ .