¿Cómo puedo a priori justificar una potencia de la serie ansatz para resolver una ODA?

Question

Actualmente estoy pensando en cómo a priori justificar una potencia de la serie ansatz para resolver de una relación no lineal ODA de primer orden.

Supongamos, por ejemplo, $y'(x)=y^2-x^2$$y(0)=1$. El lado derecho de la educación a distancia es suave, por lo tanto, cualquier solución es suave y, por Picard-Lindelöf del Teorema, único local. Sin embargo, no es necesariamente real analítica.

Supongamos que hacemos una potencia de la serie ansatz, decir $y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n ~~ $$ x \in (-1,1)$. Calculamos el Cauchy-Producto para obtener $y^2$ y obtener una fórmula recursiva para calcular los coeficientes $a_n$ 'coeficiente de comparación' (no sé si esta es la palabra en inglés).

El problema que tengo con esto es, que debemos asumir $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ a ser absolutamente convergente en $(-1,1)$ a simplemente escribir el Cauchy-Producto. Obviamente, la convergencia de esta serie depende de los coeficientes; pero nosotros usamos la de Cauchy-Producto para calcular los coeficientes...

Supongamos que hemos calculado ellos y luego se demuestra que la serie es absolutamente convergente en $(-1,1)$. También podemos demostrar que la serie es una solución de nuestra educación a distancia. Ahora todo está bien...

Pero mi pregunta es: ¿existe un modo más limpio para justificar el poder de la serie ansatz? Por ejemplo, se puede mostrar que las soluciones de educación a distancia de la del tipo anterior son reales analítica?

Answer 1

Considere la posibilidad de un problema de valor inicial $$y'=f(x,y), \quad y(0)=y_0\ ,$$ donde $f$ es analítica en un barrio de $(0,0)$. Esto significa, por ejemplo, que hay un $\rho>0$ tal que $$f(x,y)=\sum_{j,k\geq0} c_{jk} x^j y^k\qquad \bigl(|x|^2+|y|^2<\rho^2\bigr)\ .$$ Es un hecho básico de la teoría de ecuaciones diferenciales que esta analítica valor inicial problema tiene una única solución $$y(x)=\phi(x)\quad \bigl(|x|<\rho'\bigr)\ ,$$ válido en un barrio de $x=0$, y que esta solución es propio de la analítica en un barrio de $x=0$: $$\phi(x)=\sum_{k\geq 0} a_k x^k\quad\bigl(|x|<\rho'\bigr)$$ (ver, por ejemplo, Coddington/Levinson, la Teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, Teorema 8.1.).

La única cosa especial sobre el "caso real" es el hecho de que en este caso todos los datos (el$c_{jk}$$y_0$) son reales, y, en consecuencia, el $a_k$ que aparecen en la solución de $\phi$ son reales también.