Es la integral siempre que el área bajo la curva?

Question

Puede que sea una pregunta estúpida, pero si yo le preguntara a calcular la integral definida

$$\int_{\frac{- \pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \ dx$$

a continuación, en conectar a los valores, a continuación, me gustaría conseguir "$0$" como respuesta.

Pero si tuviera que encontrar el área cubierta por la función, entonces, debería integrar de la siguiente manera:

$$AREA = \left|\int_{\frac{- \pi}{2}}^{0} \sin(x) \ dx\right| + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \ dx = 2??$$

Answer 1

Diciendo: "la integral es el área bajo la curva" es un error común pensar que las necesidades de cualificación. Más precisamente:

• Si $f(x)\ge 0$$(a,b)$, entonces el área bajo la curva está dado por $\int_a^b f(x)\,dx$.
• Más en general, con ninguna titulación en el signo de $y=f(x)$, podemos decir que el $\int_a^b f(x)\,dx$ representa el (neto) firmaron, el área bajo la curva, lo que significa que en subinterval(s) donde $f(x)\leq 0$, pensamos que de manera integral como "negativo", y en subintervalos donde $f(x)\geq 0$, pensamos que de manera integral como "positivo". Entonces la integral sobre el intervalo completo es la suma de estos dos.

Más precisamente, si $f:I\to\mathbb R$ $I=P\cup N$ y $$ \begin{cases} f(x)\geq 0, &x\in P,\\ f(x)\leq 0, &x\in N, \end{casos} $$ entonces $$ \int_I f(x)\,dx=\underbrace{\int_P f(x)\,dx}_{\geq 0}+\underbrace{\int_N f(x)\,dx}_{\leq 0}.$$

En tu ejemplo, $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin x\,dx,$$ podemos visualizar el problema como este

Vemos que $\sin x\leq 0$$[-\pi/2,0]$$\sin x\geq 0$$[0,\pi/2]$, lo que \begin{align} \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin x\,dx=\int_{-\pi/2}^0 \sin x\,dx+\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx =-1+1=0. \end{align} En la imagen, la "red de área" de la $-1$ en rojo y el $+1$ en verde, es de curso $0$, y el cálculo refleja.

Por otro lado, el total de área de la región sombreada (no firmado área) es $$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}|\sen x|\,dx=\int_{-\pi/2}^0 -\sin x\,dx+\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx=-(-1)+1=2. $$ En este caso, hemos negado la $-1$ área en rojo para obtener un $+1$ y, a continuación, agrega esto a la $+1$ área verde para obtener un área total de $2$.

Así que tenga cuidado al decir que "la integral es el área bajo la curva" sin calificación!