¿Cómo sabemos que la solución de Schwarzschild contiene un objeto de masa $M$?

Question

La métrica de Schwarzschild es $$ds^2 = - \left( 1 - \frac{2GM}{r} \right) dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2.$$ En Carroll GR libro, se afirma que $M$ es la masa del agujero negro. La prueba es que, en un débil campo gravitatorio, $$g_{tt} = -(1+2\Phi)$$ donde $\Phi$ es el potencial gravitacional, y en coordenadas esféricas, el potencial de un punto de masa de masa de $M_0$ es $$\Phi = -\frac{GM_0}{r}.$$ La comparación de estas expresiones, nos encontramos con $M = M_0$.

Yo no compre este argumento. En la última ecuación, $r$ es el radial de coordenadas esféricas. En la métrica de Schwarzschild, $r$ es simplemente el nombre de una de las coordenadas. Yo podría haber aplicado algún loco de transformación de coordenadas (como la sustitución de $r' = 2r$) y llegado una respuesta diferente.

Uno puede argumentar que la de Schwarzschild $r$ es natural "de la" coordenada radial, porque hace que las áreas de las esferas se comportan como en regular esférica de coordenadas (es decir, $ds^2$ contiene $r^2 d\Omega^2$). Pero yo podría haber elegido otro coordinar, $\bar{r}$, lo que hizo radial distancias de trabajo con regularidad (es decir $ds^2$ contendría $\bar{r}^2$). Ambos de estos se sienten como una radial coordinar a mí, pero sólo el primero de los rendimientos de $M = M_0$.

Lo que nos permite identificar las Schwarzshild $r$ con el esférico radial coordinar $r$? Hay otra forma de conclusión de la solución de Schwarzschild tiene una masa $M$?

Answer 1

Conserva cantidades en GR

En GR, la energía (o masa) por lo general es un concepto mal definido. En el plano espacio-tiempo, se define la energía como la conserva de la cantidad correspondiente al tiempo de simetría traslacional. Se extiende de este a GR es bastante complicado, principalmente porque, ¿cuál es el tiempo de llamada ya está observador dependiente (esto es también cierto en el plano espacio-tiempo, pero al menos no tenemos una definición canónica de tiempo dado por la inercia de los observadores). Un segundo problema en GR es que el tiempo de la traducción no puede ser una simetría del espacio-tiempo, lo que es imposible definir la energía. En particular, cabe recordar que la métrica en GR es una fluctuación de campo, lo que hace doblemente difícil de definir timelike la Matanza de vectores cuando el fondo sí es fluctuante.

De todos modos, espero que lo puede sacar de esto es que la definición de la energía y, de hecho, cualquier conservado la cantidad que depende de las isometrías del espacio-tiempo, no es realmente algo que uno puede hablar en general de la relatividad. Entonces, ¿qué hacemos? ¿Cómo podemos definir tales cantidades?

Cómo definir la energía en el GR?

Una posible solución es ir muy muy lejos de todas las formas de materia en una región donde sólo la radiación puede existir. En esta región conocida como asintótica infinita, el espacio-tiempo es aproximadamente plana, y uno de mayo de esperanza para definir la energía aquí. En esta región, tenemos una noción de los observadores inerciales w.r.t. quien podemos definir el tiempo y por lo tanto de la energía. La energía/masa así definida se llama la ADM (Arnowitt, Deser, Misner) energía del espacio-tiempo. Se describe la masa del sistema, medida por un observador inercial sentado en el infinito.

ADM de la masa del Agujero Negro de Schwarzschild

La precisión de las fórmulas para la ADM masa se puede leer por ejemplo en Carroll. Usando esta fórmula, podemos calcular el ADM de la masa del agujero negro de Schwarzschild y nos encontramos con que es $M$. Esto es cómo sabemos que la cantidad de $M$ representa a la masa del Agujero Negro de Schwarzschild. En otras palabras, la instrucción, el lugar de un observador inercial muy lejos del agujero negro y pídale a él/ella a medida que la energía del sistema que él/ella va a hacer w.r.t. el tiempo que él/ella está experimentando. El resultado que se encontrará es que la energía del sistema $=M$.

Una advertencia aquí es que deben asegurarse de que ellos mismos son en reposo w.r.t. el agujero negro. Hay una amplia clase de los observadores inerciales en el infinito, algunos (en realidad, la mayoría) de los que están en movimiento con respecto al agujero negro. Nos gustaría definir la masa como la energía del sistema en reposo. Por lo tanto, debemos elegir nuestro observador inercial, de modo que el impulso que él/ella mide es cero. En este marco, la energía que él/ella sobre medidas de la masa. Cuando esto se hace de Schwarzschild, la respuesta que obtenemos es $M$.

Una nota de lado

El ADM de la misa es lo que normalmente se como llamar a la masa de un sistema, excepto que carece de un sentido. Un observador inercial en el infinito, no es capaz de medir la energía en gravitacional o de radiación electromagnética que se emite. Por ejemplo, si el agujero negro de Schwarzschild que se inicie la energía radiante a través de las ondas gravitacionales y eventualmente desaparecen, la ADM masa medido por el observador en el infinito sería aún se $M$.

Cuando la radiación gravitatoria es importante (por ejemplo, cuando se estudia la dispersión de las ondas gravitacionales) para el problema, más conveniente la definición de la misa es el Bondi masa $m_B$, el cual es definido como la masa se mide por un Bondi observador en el infinito. Un Bondi observador se mueve a la velocidad de la luz a lo largo de null infinito. El Bondi masa es una función de (null) tiempo $m_B(u)$, de modo que se capta no sólo la actual masa, sino también el cambio en la masa del sistema debido a la radiación.

Answer 2

1. Supongamos por simplicidad trabajo en las unidades en donde la velocidad de la luz $c=1$ es igual a uno, y suponga que no hay ningún constante cosmológica $\Lambda=0$. Un esféricamente simétrica solución de vacío a la agencia EFE de la forma $$\tag{1} ds^2~=~g_{tt}(r)dt^2 + g_{rr}(r)dr^2 +r^2 d\Omega^2,$$ que asymtotically se convierte en espacio de Minkowski $$\tag{2} -g_{tt}(r\!=\!\infty)~=~ 1~=~g_{rr}(r\!=\!\infty), $$ únicamente está dada por $$\tag{3} -g_{tt}(r)~=~ 1-\frac{R_S}{r} ~=~\frac{1}{g_{rr}(r)}, $$ donde $R_S$ es un parámetro de longitud, cf. El teorema de Birkhoff y este Phys.SE post.

2. Asintóticamente para campos gravitacionales débiles, es bien sabido que podemos identificar el $tt$-componente de la métrica $$\tag{4} -g_{tt}~\approx~e^{2\Phi} , \qquad r\to \infty, $$ con el potencial Newtoniano $$\Phi~=~-\frac{GM}{r},$$ where $M$ es una masa parámetro. Entonces podemos deducir una relación entre los dos parámetros $$\tag{5} R_S~=~ 2GM. $$

3. OP es esencialmente ponderando si es posible que el malestar de la conclusión anterior (5) considerando un reparametrization $\bar{r}=f(r)$ de la radial coordinar $r$. La respuesta es No. El teorema de Birkhoff y el requisito de asymtotical espacio de Minkowski poner demasiado fuerte las condiciones de una radial reparametrization.

Answer 3

Hay otra forma de conclusión de la solución de Schwarzschild tiene una masa M

No es tanto una conclusión como una definición. De Schutz en "Un primer curso de teoría general de la relatividad", en la sección 8.4 "Newtoniano campos gravitacionales", páginas 207 - 208:

---

Cualquier pequeño cuerpo, por ejemplo un planeta, que cae libremente en el relativista de la fuente del campo gravitatorio, pero queda lejos de ella seguirá el geodesics de la métrica, Eq. (8.49), con $\phi$ por Eq. (8.59). En Ch. 7 la vimos, estos geodesics obedecer las leyes de Kepler para el campo gravitacional de un cuerpo de masa $M$. Por lo tanto, definir esta constante $M$ a la masa total de la relativista de origen.

Observe que esta definición no es una integral sobre la fuente: softonic no se suman a las masas de sus partículas constituyentes. En su lugar, nos simplemente medir su masa - 'pesan'- por las órbitas se produce en prueba de los órganos de lejos. Esta definición nos permite escribir la ecuación. (8.50) en su forma, lejos de cualquier fuente estacionaria:

$$\mathrm{d}^2 = -[1 - 2M/r + O(r^{-2})]\mathrm{d}t^2 + [1 + 2M/r + O(r^{-2})](\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2)$$

A continuación, en la sección 10.4, "El exterior de la geometría", páginas 257 - 258, tenemos

Por tanto, vemos que el el exterior métrica tiene la siguiente forma, llama la métrica de Schwarzschild:

$$\mathrm{d}^2 = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\mathrm{d}t^2 + \frac{\mathrm{d}r^2}{1 - \frac{2M}{r}} + r^2\mathrm{d}\Omega^2$$

Para un gran $r$, esto se convierte en

$$\mathrm{d}^2 = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\mathrm{d}t^2 + \left(1 + \frac{2M}{r}\right)\mathrm{d}r^2 + r^2\mathrm{d}\Omega^2$$

Uno puede encontrar las coordenadas de $(x,y,z)$ de manera tal que se convierte en su

$$\mathrm{d}^2 = -\left(1 - \frac{2M}{R}\right)\mathrm{d}t^2 + \left(1 + \frac{2M}{R}\right)(\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2)$$

donde $R \equiv (\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2)^{1/2}$. Vemos que este es el campo lejano de la métrica de un estrella de la masa total $M$ (ver Eq.(8.60)). Esto justifica la definición, Eq. (10.28), y la elección del símbolo $M$.